Номер 5, страница 136, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

5. Металлический стержень массой $0.5 \text{ кг}$ и длиной $1 \text{ м}$ соскальзывает с наклонной плоскости, составляющей угол $30^\circ$ с горизонтом. В пространстве создано однородное магнитное поле с индукцией $0.1 \text{ Тл}$, силовые линии которого направлены вертикально вниз. Определите ускорение этого стержня, если по нему пропустить ток $5 \text{ А}$ в направлении, показанном на рис. 70.10. Коэффициент трения между стержнем и поверхностью наклонной плоскости $0.2$.

Рис. 70.10

(Ответ: $2.5 \text{ м/с}^2$)

Дано:

$m = 0,5 \text{ кг}$

$l = 1 \text{ м}$

$\alpha = 30^\circ$

$B = 0,1 \text{ Тл}$

$I = 5 \text{ А}$

$\mu = 0,2$

Примем ускорение свободного падения $g = 10 \text{ м/с}^2$.

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

$\text{a}$ - ускорение стержня.

Решение:

На стержень, соскальзывающий с наклонной плоскости, действуют четыре силы:

1. Сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз.
2. Сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно наклонной плоскости.
3. Сила трения скольжения $\vec{F}_{\text{тр}}$, направленная вдоль наклонной плоскости против движения (вверх по склону). Ее модуль равен $F_{\text{тр}} = \mu N$.
4. Сила Ампера $\vec{F}_A$, действующая на проводник с током в магнитном поле. Ее модуль определяется по формуле $F_A = I B l \sin\beta$, где $\beta$ — угол между направлением тока и вектором магнитной индукции.

По условию, стержень расположен горизонтально, а силовые линии магнитного поля направлены вертикально вниз. Следовательно, ток в стержне перпендикулярен магнитному полю ($\beta = 90^\circ, \sin 90^\circ = 1$), и модуль силы Ампера равен $F_A = I B l$.

Направление силы Ампера определяется по правилу левой руки. Вектор $\vec{B}$ направлен вертикально вниз, вектор тока $\vec{I}$ — горизонтально (вдоль стержня). Следовательно, сила Ампера $\vec{F}_A$ направлена горизонтально и перпендикулярно стержню. Чтобы получить ответ, указанный в задаче, необходимо предположить, что сила Ампера направлена горизонтально в сторону от наклонной плоскости (возможно, направление тока на рисунке или в условии следует интерпретировать иначе). При таком предположении решение будет следующим.

Выберем систему координат: ось $OX$ направим вдоль наклонной плоскости вниз, а ось $OY$ — перпендикулярно наклонной плоскости вверх.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на эти оси.

Проекция на ось $OY$:

$\sum F_y = 0$

$N + F_{A,y} - F_{g,y} = 0$

Проекция силы тяжести на ось $OY$: $F_{g,y} = mg \cos\alpha$.

Проекция силы Ампера (горизонтальной) на ось $OY$: $F_{A,y} = F_A \sin\alpha$.

$N + F_A \sin\alpha - mg \cos\alpha = 0$

Отсюда выразим силу нормальной реакции:

$N = mg \cos\alpha - F_A \sin\alpha$

Проекция на ось $OX$:

$\sum F_x = ma$

$F_{g,x} - F_{A,x} - F_{\text{тр}} = ma$

Проекция силы тяжести на ось $OX$: $F_{g,x} = mg \sin\alpha$.

Проекция силы Ампера на ось $OX$: $F_{A,x} = F_A \cos\alpha$.

Сила трения: $F_{\text{тр}} = \mu N = \mu(mg \cos\alpha - F_A \sin\alpha)$.

Подставляем все в уравнение для оси $OX$:

$ma = mg \sin\alpha - F_A \cos\alpha - \mu(mg \cos\alpha - F_A \sin\alpha)$

Сгруппируем слагаемые:

$ma = mg(\sin\alpha - \mu\cos\alpha) - F_A(\cos\alpha - \mu\sin\alpha)$

Выразим ускорение $\text{a}$:

$a = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha) - \frac{F_A}{m}(\cos\alpha - \mu\sin\alpha)$

Подставим значения. Сначала вычислим модуль силы Ампера:

$F_A = I B l = 5 \text{ А} \cdot 0,1 \text{ Тл} \cdot 1 \text{ м} = 0,5 \text{ Н}$

Теперь вычислим ускорение:

$\sin 30^\circ = 0,5$

$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$

$a = 10 \cdot (0,5 - 0,2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{0,5}{0,5} \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0,2 \cdot 0,5)$

$a = 10 \cdot (0,5 - 0,1\sqrt{3}) - (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0,1)$

$a = 5 - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 0,1$

$a = 5,1 - 1,5\sqrt{3}$

$a \approx 5,1 - 1,5 \cdot 1,732 = 5,1 - 2,598 = 2,502 \text{ м/с}^2$

Округляя, получаем $a \approx 2,5 \text{ м/с}^2$.

Ответ: $a = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha) - \frac{IBl}{m}(\cos\alpha - \mu\sin\alpha) \approx 2,5 \text{ м/с}^2$.