Номер 6, страница 136, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*6. Проводящий стержень подвешен горизонтально на двух легких проводах в магнитном поле, силовые линии которого направлены вертикально вниз. К точкам крепления провода можно подключать конденсатор (рис. 70.11). Определите емкость $C_1$ конденсатора, при разрядке которого стержень отклонится от вертикали на угол $5^\circ$, если при разрядке заряженного до такого же напряжения конденсатора емкостью $C_2 = 30 \text{ мкФ}$ угол отклонения $3^\circ$.

(Ответ: $50 \text{ мкФ}$)

Рис. 70.11

Дано:

Угол отклонения в первом случае, $ \alpha_1 = 5^\circ $

Емкость конденсатора во втором случае, $ C_2 = 30 \, \text{мкФ} $

Угол отклонения во втором случае, $ \alpha_2 = 3^\circ $

Напряжение на конденсаторах в обоих случаях одинаково, $ U_1 = U_2 = U $

$ C_2 = 30 \cdot 10^{-6} \, \text{Ф} $

Найти:

Емкость конденсатора в первом случае, $ C_1 $

Решение:

При разрядке конденсатора через стержень по нему протекает ток. На стержень с током, находящийся в магнитном поле, действует сила Ампера $ F_A $. Поскольку разрядка происходит очень быстро, действие этой силы можно рассматривать как кратковременный удар, сообщающий стержню импульс силы $ J $.

Импульс силы Ампера равен $ J = \int F_A dt = \int (I(t) \cdot L \cdot B \cdot \sin{90^\circ}) dt $, где $ L $ – длина стержня, $ B $ – индукция магнитного поля, а $ I(t) $ – ток, изменяющийся во времени. Так как $ L $ и $ B $ постоянны, их можно вынести за знак интеграла: $ J = L \cdot B \cdot \int I(t) dt $. Интеграл от тока по времени равен полному заряду $ q $, протекшему через стержень. Этот заряд равен начальному заряду конденсатора: $ q = C \cdot U $.

Таким образом, импульс, полученный стержнем, равен $ J = q \cdot L \cdot B = C \cdot U \cdot L \cdot B $.

Согласно закону сохранения импульса, этот импульс силы равен импульсу тела (стержня) $ p $, который он приобретает: $ p = m \cdot v $, где $ m $ – масса стержня, $ v $ – его начальная скорость.

Следовательно, $ m \cdot v = C \cdot U \cdot L \cdot B $, откуда начальная скорость стержня $ v = \frac{C \cdot U \cdot L \cdot B}{m} $.

После получения начальной скорости стержень, подвешенный на проводах длиной $ l $, начинает движение, подобно маятнику. Его начальная кинетическая энергия $ E_k = \frac{m \cdot v^2}{2} $ переходит в потенциальную энергию $ E_p = m \cdot g \cdot h $ в точке максимального отклонения, где $ h $ – высота подъема стержня.

По закону сохранения энергии: $ \frac{m \cdot v^2}{2} = m \cdot g \cdot h $, или $ \frac{v^2}{2} = g \cdot h $.

Высота подъема $ h $ связана с углом отклонения $ \alpha $ и длиной подвеса $ l $ соотношением: $ h = l \cdot (1 - \cos{\alpha}) $.

Подставим выражения для $ v $ и $ h $ в уравнение сохранения энергии: $ \frac{1}{2} \left( \frac{C \cdot U \cdot L \cdot B}{m} \right)^2 = g \cdot l \cdot (1 - \cos{\alpha}) $

$ \frac{C^2 \cdot U^2 \cdot L^2 \cdot B^2}{2m^2} = g \cdot l \cdot (1 - \cos{\alpha}) $

Выразим отсюда квадрат емкости: $ C^2 = \frac{2m^2 \cdot g \cdot l}{U^2 \cdot L^2 \cdot B^2} \cdot (1 - \cos{\alpha}) $

Величина $ k = \frac{2m^2 \cdot g \cdot l}{U^2 \cdot L^2 \cdot B^2} $ является константой для данной установки, так как все параметры, кроме емкости и угла, не меняются.

Тогда мы можем записать соотношения для двух экспериментов:

1) $ C_1^2 = k \cdot (1 - \cos{\alpha_1}) $

2) $ C_2^2 = k \cdot (1 - \cos{\alpha_2}) $

Разделим первое уравнение на второе: $ \frac{C_1^2}{C_2^2} = \frac{1 - \cos{\alpha_1}}{1 - \cos{\alpha_2}} $

Отсюда найдем $ C_1 $: $ C_1 = C_2 \cdot \sqrt{\frac{1 - \cos{\alpha_1}}{1 - \cos{\alpha_2}}} $

Поскольку углы $ \alpha_1 = 5^\circ $ и $ \alpha_2 = 3^\circ $ малы, можно использовать приближенную формулу для косинуса малого угла: $ \cos{\alpha} \approx 1 - \frac{\alpha^2}{2} $, где угол $ \alpha $ выражен в радианах.

Тогда $ 1 - \cos{\alpha} \approx \frac{\alpha^2}{2} $. Подставим это приближение в нашу формулу: $ C_1 \approx C_2 \cdot \sqrt{\frac{\alpha_1^2 / 2}{\alpha_2^2 / 2}} = C_2 \cdot \sqrt{\frac{\alpha_1^2}{\alpha_2^2}} = C_2 \cdot \frac{\alpha_1}{\alpha_2} $

Отношение углов не зависит от единиц измерения (градусы или радианы), поэтому мы можем подставить значения в градусах: $ C_1 \approx 30 \, \text{мкФ} \cdot \frac{5^\circ}{3^\circ} = 30 \cdot \frac{5}{3} \, \text{мкФ} = 50 \, \text{мкФ} $

Ответ: $ 50 \, \text{мкФ} $