Номер 1, страница 221 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Динамика. Глава 3. Силы в механике. Параграф 3.2. Сила всемирного тяготения - номер 1, страница 221.

Условие.

? 1. Расстояние от Марса до Солнца на 52% больше расстояния от Земли до Солнца. Какова продолжительность года на Марсе?

Решение.

1. Дано:
$a_М = a_З + 0.52 \cdot a_З = 1.52 \cdot a_З$
$T_З = 1$ год
где $a_М$ — среднее расстояние от Марса до Солнца, $a_З$ — среднее расстояние от Земли до Солнца, $T_З$ — продолжительность года на Земле (период обращения Земли вокруг Солнца).

Найти:
$T_М$ — продолжительность года на Марсе.

Решение:

Для нахождения продолжительности года на Марсе воспользуемся третьим законом Кеплера. Этот закон гласит, что квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит (средних расстояний до Солнца).
Математически это записывается так:
$ \frac{T_М^2}{T_З^2} = \frac{a_М^3}{a_З^3} $
Выразим из этой формулы искомый период обращения Марса $T_М$:
$ T_М^2 = T_З^2 \cdot \frac{a_М^3}{a_З^3} = T_З^2 \cdot \left(\frac{a_М}{a_З}\right)^3 $
$ T_М = T_З \cdot \sqrt{\left(\frac{a_М}{a_З}\right)^3} = T_З \cdot \left(\frac{a_М}{a_З}\right)^{3/2} $
Из условия задачи мы знаем, что $a_М = 1.52 \cdot a_З$. Следовательно, отношение расстояний равно:
$ \frac{a_М}{a_З} = 1.52 $
Теперь подставим это значение в формулу для $T_М$, приняв продолжительность земного года $T_З = 1$ год:
$ T_М = 1 \text{ год} \cdot (1.52)^{3/2} $
Проведем вычисления:
$ (1.52)^{3/2} = \sqrt{1.52^3} = \sqrt{3.511808} \approx 1.874 $
Таким образом, продолжительность марсианского года в земных годах составляет:
$ T_М \approx 1.874 $ земных года.
Для большей наглядности можно выразить этот период в земных сутках, зная, что в земном году примерно 365,25 суток:
$ T_М \approx 1.874 \cdot 365.25 \text{ суток} \approx 684.5 \text{ суток} $

Ответ: Продолжительность года на Марсе составляет примерно 1.874 земных года, или около 685 земных суток.