Номер 3, страница 221 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Параграф 3.2. Сила всемирного тяготения. Глава 3. Силы в механике. Динамика - номер 3, страница 221.

Условие.

3. Как связаны между собой кинематические законы движения планет (законы Кеплера) и закон всемирного тяготения?

Решение.

Законы Кеплера и закон всемирного тяготения представляют собой два этапа в понимании движения небесных тел, и они неразрывно связаны. Законы, открытые Иоганном Кеплером в начале XVII века, являются кинематическими и эмпирическими. Это означает, что они были получены путем обобщения большого количества астрономических наблюдений (в основном, данных Тихо Браге) и описывают, как движутся планеты, но не объясняют, почему их движение именно такое.

Закон всемирного тяготения, сформулированный Исааком Ньютоном в 1687 году, является динамическим и фундаментальным законом. Он устанавливает причину движения планет — силу гравитационного притяжения между Солнцем и планетами. Главная связь между этими законами заключается в том, что все три закона Кеплера являются прямыми математическими следствиями закона всемирного тяготения Ньютона и его трех законов механики.

Рассмотрим эту связь подробнее для каждого из законов Кеплера:
1. Первый закон Кеплера (закон эллипсов), который гласит, что каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Ньютон, решив задачу о движении тела под действием центральной силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния (сила тяготения $F = G \frac{M m}{r^2}$), математически доказал, что траекторией такого движения может быть только одно из конических сечений: эллипс, парабола или гипербола. Для гравитационно связанных объектов, какими являются планеты Солнечной системы, такой траекторией является именно эллипс.
2. Второй закон Кеплера (закон площадей), утверждающий, что радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает равные площади. Этот закон является проявлением фундаментального физического закона — закона сохранения момента импульса. Поскольку сила гравитационного притяжения, действующая на планету со стороны Солнца, всегда направлена к центру Солнца (является центральной), она не создает вращающего момента. При отсутствии внешних моментов сил момент импульса системы сохраняется, что математически эквивалентно постоянству секториальной скорости.
3. Третий закон Кеплера (гармонический закон), который устанавливает, что квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит ($T^2 \sim a^3$). Ньютон не просто вывел этот закон, но и уточнил его. Он показал, что коэффициент пропорциональности в этом законе зависит от массы центрального тела (Солнца). Приравнивая силу всемирного тяготения к центростремительной силе для случая круговой орбиты, Ньютон получил формулу:$T^2 = \frac{4\pi^2}{G(M+m)} a^3$, где $M$ — масса Солнца, $m$ — масса планеты, $a$ — большая полуось. Так как масса любой планеты ничтожно мала по сравнению с массой Солнца ($m \ll M$), ее можно пренебречь, и формула принимает вид $T^2 \approx \left(\frac{4\pi^2}{GM}\right) a^3$. Это позволило не только объяснить третий закон Кеплера, но и рассчитать массу Солнца и других небесных тел.

Таким образом, работа Ньютона стала синтезом, который объединил земную и небесную механику. Он показал, что движение планет подчиняется тем же законам, что и падение яблока на Землю. Законы Кеплера из набора эмпирических правил превратились в строго доказанные следствия универсального закона природы.

Ответ: Законы Кеплера — это кинематическое описание движения планет, полученное из наблюдений. Закон всемирного тяготения Ньютона — это фундаментальный динамический закон, объясняющий причину этого движения. Связь между ними заключается в том, что все три закона Кеплера могут быть математически выведены из закона всемирного тяготения и законов механики Ньютона. Таким образом, законы Кеплера являются следствиями более общего и фундаментального закона всемирного тяготения.