Номер 13, страница 239 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 6. Взаимные превращения жидкостей и газов. Параграф 6.9. Примеры решения задач. Упражнение 5 - номер 13, страница 239.

Условие.

13. До какой температуры нагреется вода объёмом $0,8$ л, находящаяся в медном калориметре массой $0,7$ кг и имеющая температуру $285$ К, если ввести в калориметр пар массой $0,05$ кг при температуре $373$ К? Удельная теплоёмкость воды $4,2 \text{ кДж}/(\text{кг} \cdot \text{К})$; удельная теплоёмкость меди $0,38 \text{ кДж}/(\text{кг} \cdot \text{К})$; удельная теплота парообразования воды $2,26 \text{ МДж/кг}$.

Решение.

Дано:

$V_в = 0,8$ л (объём воды)

$m_к = 0,7$ кг (масса калориметра)

$T_1 = 285$ К (начальная температура воды и калориметра)

$m_п = 0,05$ кг (масса пара)

$T_п = 373$ К (температура пара, температура кипения воды)

$c_в = 4,2$ кДж/(кг·К) (удельная теплоёмкость воды)

$c_м = 0,38$ кДж/(кг·К) (удельная теплоёмкость меди)

$L = 2,26$ МДж/кг (удельная теплота парообразования воды)

$\rho_в \approx 1000$ кг/м³ (плотность воды)

Перевод в систему СИ:

$V_в = 0,8 \cdot 10^{-3}$ м³

$c_в = 4,2 \cdot 10^3$ Дж/(кг·К) = 4200 Дж/(кг·К)

$c_м = 0,38 \cdot 10^3$ Дж/(кг·К) = 380 Дж/(кг·К)

$L = 2,26 \cdot 10^6$ Дж/кг

Найти:

$T_2$ — конечная температура системы.

Решение:

В калориметре происходит теплообмен. Согласно закону сохранения энергии, количество теплоты, отданное горячим паром, равно количеству теплоты, полученному холодной водой и калориметром. Составим уравнение теплового баланса:

$Q_{отданное} = Q_{полученное}$

Теплота, отданная паром, состоит из двух частей:

1. Теплота, выделяющаяся при конденсации пара в воду при температуре кипения $T_п = 373$ К:

$Q_1 = L \cdot m_п$

2. Теплота, выделяющаяся при охлаждении образовавшейся из пара воды от температуры $T_п$ до конечной температуры $T_2$:

$Q_2 = c_в \cdot m_п \cdot (T_п - T_2)$

Таким образом, общее количество отданной теплоты:

$Q_{отданное} = Q_1 + Q_2 = L \cdot m_п + c_в \cdot m_п \cdot (T_п - T_2)$

Теплота, полученная водой и калориметром, идет на их нагревание от начальной температуры $T_1$ до конечной $T_2$.

Сначала найдем массу воды в калориметре:

$m_в = \rho_в \cdot V_в = 1000 \text{ кг/м³} \cdot 0,8 \cdot 10^{-3} \text{ м³} = 0,8$ кг.

Теплота, полученная водой:

$Q_3 = c_в \cdot m_в \cdot (T_2 - T_1)$

Теплота, полученная медным калориметром:

$Q_4 = c_м \cdot m_к \cdot (T_2 - T_1)$

Таким образом, общее количество полученной теплоты:

$Q_{полученное} = Q_3 + Q_4 = (c_в \cdot m_в + c_м \cdot m_к) \cdot (T_2 - T_1)$

Приравниваем отданную и полученную теплоту:

$L \cdot m_п + c_в \cdot m_п \cdot (T_п - T_2) = (c_в \cdot m_в + c_м \cdot m_к) \cdot (T_2 - T_1)$

Теперь нужно решить это уравнение относительно $T_2$. Раскроем скобки:

$L \cdot m_п + c_в m_п T_п - c_в m_п T_2 = c_в m_в T_2 - c_в m_в T_1 + c_м m_к T_2 - c_м m_к T_1$

Соберем все слагаемые с $T_2$ в одной части уравнения, а остальные — в другой:

$L \cdot m_п + c_в m_п T_п + c_в m_в T_1 + c_м m_к T_1 = c_в m_в T_2 + c_м m_к T_2 + c_в m_п T_2$

$L \cdot m_п + c_в m_п T_п + (c_в m_в + c_м m_к) T_1 = (c_в m_в + c_м m_к + c_в m_п) T_2$

Выразим $T_2$:

$T_2 = \frac{L \cdot m_п + c_в m_п T_п + (c_в m_в + c_м m_к) T_1}{c_в (m_в + m_п) + c_м m_к}$

Подставим числовые значения:

$T_2 = \frac{2,26 \cdot 10^6 \text{ Дж/кг} \cdot 0,05 \text{ кг} + 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}} \cdot 0,05 \text{ кг} \cdot 373 \text{ К} + (4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}} \cdot 0,8 \text{ кг} + 380 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}} \cdot 0,7 \text{ кг}) \cdot 285 \text{ К}}{4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}} \cdot (0,8 \text{ кг} + 0,05 \text{ кг}) + 380 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}} \cdot 0,7 \text{ кг}}$

$T_2 = \frac{113000 \text{ Дж} + 78330 \text{ Дж} + (3360 \frac{\text{Дж}}{\text{К}} + 266 \frac{\text{Дж}}{\text{К}}) \cdot 285 \text{ К}}{4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}} \cdot 0,85 \text{ кг} + 266 \frac{\text{Дж}}{\text{К}}}$

$T_2 = \frac{191330 \text{ Дж} + 3626 \frac{\text{Дж}}{\text{К}} \cdot 285 \text{ К}}{3570 \frac{\text{Дж}}{\text{К}} + 266 \frac{\text{Дж}}{\text{К}}}$

$T_2 = \frac{191330 \text{ Дж} + 1033410 \text{ Дж}}{3836 \frac{\text{Дж}}{\text{К}}}$

$T_2 = \frac{1224740 \text{ Дж}}{3836 \frac{\text{Дж}}{\text{К}}} \approx 319,275$ К

Округлим результат до целых, так как точность исходных данных невысока.

Ответ: $T_2 \approx 319$ К.