Номер 17, страница 239 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 6. Взаимные превращения жидкостей и газов. Параграф 6.9. Примеры решения задач. Упражнение 5 - номер 17, страница 239.

Условие.

17. В здание необходимо подать $100\,000 \text{ м}^3$ воздуха при температуре $20^\circ\text{C}$ и относительной влажности $70\%$. Воздух забирают с улицы, где он имеет температуру $-5^\circ\text{C}$ и относительную влажность $90\%$. Давление насыщенных водяных паров при $-5^\circ\text{C}$ равно $400 \text{ Па}$, а при $20^\circ\text{C}$ — $2.33 \text{ кПа}$. Сколько воды надо дополнительно испарить в подаваемый воздух?

Решение.

Дано:

Объем подаваемого в здание воздуха $V_2 = 100\,000 \text{ м}^3$

Температура воздуха в здании $t_2 = 20 \text{ °C}$

Относительная влажность в здании $\phi_2 = 70\%$

Температура воздуха на улице $t_1 = -5 \text{ °C}$

Относительная влажность на улице $\phi_1 = 90\%$

Давление насыщенного водяного пара при $t_1 = -5 \text{ °C}$, $p_{н1} = 400 \text{ Па}$

Давление насыщенного водяного пара при $t_2 = 20 \text{ °C}$, $p_{н2} = 2,33 \text{ кПа}$

Молярная масса воды $M_{H_2O} = 18 \text{ г/моль}$

Универсальная газовая постоянная $R = 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$

В системе СИ:

$V_2 = 10^5 \text{ м}^3$

$T_2 = 20 + 273 = 293 \text{ К}$

$\phi_2 = 0,70$

$T_1 = -5 + 273 = 268 \text{ К}$

$\phi_1 = 0,90$

$p_{н2} = 2,33 \times 10^3 \text{ Па} = 2330 \text{ Па}$

$M = 0,018 \frac{\text{кг}}{\text{моль}}$

Найти:

$\Delta m$ — массу воды, которую необходимо дополнительно испарить.

Решение:

Масса воды, которую необходимо дополнительно испарить, равна разности между конечной массой водяного пара в воздухе ($m_2$) и начальной массой водяного пара ($m_1$), содержавшейся в этом же количестве сухого воздуха:

$\Delta m = m_2 - m_1$

Массу водяного пара в объеме $\text{V}$ можно найти из уравнения состояния идеального газа (уравнения Менделеева-Клапейрона):

$pV = \frac{m}{M}RT$

Отсюда масса пара: $m = \frac{pVM}{RT}$.

Здесь $\text{p}$ — парциальное давление водяного пара, которое связано с относительной влажностью $\phi$ и давлением насыщенного пара $p_н$ формулой: $p = \phi \cdot p_н$.

1. Найдем массу водяного пара $m_2$ в объеме $V_2 = 100\,000 \text{ м}^3$ при температуре $T_2 = 293 \text{ К}$ и влажности $\phi_2 = 70\%$.

Парциальное давление пара в здании:

$p_2 = \phi_2 \cdot p_{н2} = 0,70 \cdot 2330 \text{ Па} = 1631 \text{ Па}$

Масса пара в здании:

$m_2 = \frac{p_2 V_2 M}{R T_2}$

2. Найдем массу водяного пара $m_1$, которая содержалась в этом же количестве воздуха, когда он был на улице при температуре $T_1 = 268 \text{ К}$ и влажности $\phi_1 = 90\%$.

Парциальное давление пара на улице:

$p_1 = \phi_1 \cdot p_{н1} = 0,90 \cdot 400 \text{ Па} = 360 \text{ Па}$

При нагревании воздуха от $T_1$ до $T_2$ его объем изменяется. Поскольку масса сухого воздуха остается постоянной и процесс происходит при постоянном (атмосферном) давлении, то по закону Гей-Люссака (или Шарля) объем воздуха, взятого с улицы ($V_1$), связан с конечным объемом ($V_2$) соотношением:

$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \implies V_1 = V_2 \frac{T_1}{T_2}$

Тогда начальная масса пара $m_1$ в объеме $V_1$ при температуре $T_1$ равна:

$m_1 = \frac{p_1 V_1 M}{R T_1} = \frac{p_1 (V_2 \frac{T_1}{T_2}) M}{R T_1} = \frac{p_1 V_2 M}{R T_2}$

3. Найдем искомую массу воды $\Delta m$:

$\Delta m = m_2 - m_1 = \frac{p_2 V_2 M}{R T_2} - \frac{p_1 V_2 M}{R T_2} = \frac{(p_2 - p_1) V_2 M}{R T_2}$

Подставим числовые значения:

$\Delta m = \frac{(1631 \text{ Па} - 360 \text{ Па}) \cdot 10^5 \text{ м}^3 \cdot 0,018 \frac{\text{кг}}{\text{моль}}}{8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 293 \text{ К}} = \frac{1271 \cdot 10^5 \cdot 0,018}{2434,83} \approx 939,6 \text{ кг}$

Ответ: необходимо дополнительно испарить примерно 939,6 кг воды.