Номер 18, страница 240 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 6. Взаимные превращения жидкостей и газов. Параграф 6.9. Примеры решения задач. Упражнение 5 - номер 18, страница 240.

Условие.

18. После понижения температуры от 27 до 10 °C оказалось, что из каждого кубического метра воздуха выделилось 8 г воды. Какова была относительная влажность воздуха при 27 °C? Давление насыщенного водяного пара при 27 °C равно 3,56 кПа, а при 10 °C — 1,23 кПа.

Решение.

Дано:

Начальная температура: $t_1 = 27^\circ C$
Конечная температура: $t_2 = 10^\circ C$
Объем воздуха: $V = 1 \, м^3$
Масса выделившейся воды: $\Delta m = 8 \, г$
Давление насыщенного пара при $t_1$: $P_{н1} = 3,56 \, кПа$
Давление насыщенного пара при $t_2$: $P_{н2} = 1,23 \, кПа$
Молярная масса воды: $\mu \approx 18 \, г/моль$
Универсальная газовая постоянная: $R \approx 8,31 \, Дж/(моль \cdot К)$

Перевод в систему СИ:
$T_1 = 27 + 273 = 300 \, К$
$T_2 = 10 + 273 = 283 \, К$
$\Delta m = 0,008 \, кг$
$P_{н1} = 3,56 \cdot 10^3 \, Па$
$P_{н2} = 1,23 \cdot 10^3 \, Па$
$\mu = 0,018 \, кг/моль$

Найти:

Начальную относительную влажность воздуха: $\phi_1$

Решение:

Относительная влажность воздуха $\phi$ — это отношение парциального давления $\text{P}$ водяного пара, содержащегося в воздухе, к давлению насыщенного водяного пара $P_н$ при той же температуре, выраженное в процентах:

$\phi = \frac{P}{P_н} \cdot 100\%$

Поскольку водяной пар можно считать идеальным газом, его давление $\text{P}$ и плотность (абсолютная влажность) $\rho$ связаны уравнением Менделеева-Клапейрона:

$P = \frac{\rho R T}{\mu}$

Тогда относительную влажность можно выразить через отношение плотностей:

$\phi = \frac{\rho}{\rho_н} \cdot 100\%$, где $\rho_н$ - плотность насыщенного водяного пара.

1. Когда температура воздуха понизилась до $10^\circ C$, часть водяного пара сконденсировалась (выпала роса). Это означает, что при конечной температуре $t_2$ воздух стал насыщенным водяным паром, и его относительная влажность стала равной $100\%$. Плотность пара в воздухе $\rho_2$ стала равной плотности насыщенного пара $\rho_{н2}$ при этой температуре.

Рассчитаем плотность насыщенного пара $\rho_{н2}$ при $T_2 = 283 \, К$:

$\rho_2 = \rho_{н2} = \frac{P_{н2}\mu}{RT_2} = \frac{1,23 \cdot 10^3 \, Па \cdot 0,018 \, кг/моль}{8,31 \, Дж/(моль \cdot К) \cdot 283 \, К} \approx \frac{22,14}{2351,73} \approx 0,00941 \, кг/м^3$

2. По условию, из каждого кубического метра воздуха выделилось $\Delta m = 8 \, г = 0,008 \, кг$ воды. Это означает, что начальная плотность водяного пара $\rho_1$ была больше конечной плотности $\rho_2$ на величину $\Delta \rho = \frac{\Delta m}{V} = 0,008 \, кг/м^3$.

Найдем начальную плотность пара $\rho_1$:

$\rho_1 = \rho_2 + \Delta \rho = 0,00941 \, кг/м^3 + 0,008 \, кг/м^3 = 0,01741 \, кг/м^3$

3. Теперь найдем, какой была бы плотность пара, если бы он был насыщенным при начальной температуре $t_1 = 27^\circ C$ ($T_1 = 300 \, К$). Эта плотность $\rho_{н1}$ является максимальной возможной плотностью пара при данной температуре.

$\rho_{н1} = \frac{P_{н1}\mu}{RT_1} = \frac{3,56 \cdot 10^3 \, Па \cdot 0,018 \, кг/моль}{8,31 \, Дж/(моль \cdot К) \cdot 300 \, К} \approx \frac{64,08}{2493} \approx 0,02570 \, кг/м^3$

4. Наконец, зная фактическую начальную плотность пара $\rho_1$ и плотность насыщенного пара $\rho_{н1}$ при той же температуре, можем найти начальную относительную влажность $\phi_1$:

$\phi_1 = \frac{\rho_1}{\rho_{н1}} \cdot 100\% = \frac{0,01741 \, кг/м^3}{0,02570 \, кг/м^3} \cdot 100\% \approx 0,6775 \cdot 100\% \approx 67,8\%$

Округляя до целых, получаем 68%.

Ответ: Начальная относительная влажность воздуха при 27 °C была примерно 68%.