Номер 18, страница 273 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 7. Поверхностное натяжение в жидкостях. Параграф 7.8. Примеры решения задач. Упражнение 6 - номер 18, страница 273.

Условие.

18. Капиллярная стеклянная трубка имеет радиус канала $r = 0,05$ см и запаяна сверху. Трубка открытым концом опускается вертикально в воду. Какой длины следовало бы взять трубку, чтобы при этих условиях вода в ней поднялась на высоту $h = 1$ см? Давление воздуха $p_0 = 10^5$ Па. Поверхностное натяжение воды $\sigma = 7 \cdot 10^{-2}$ Н/м.

Решение.

Дано:

Радиус капилляра $r = 0,05$ см

Высота подъема воды $h = 1$ см

Начальное давление воздуха (атмосферное) $p_0 = 10^5$ Па

Поверхностное натяжение воды $\sigma = 7 \cdot 10^{-2}$ Н/м

Плотность воды (справочное значение) $\rho \approx 1000$ кг/м³

Ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ м/с²

Перевод в систему СИ:

$r = 0,05 \text{ см} = 0,05 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 5 \cdot 10^{-4}$ м

$h = 1 \text{ см} = 1 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0,01$ м

Найти:

Длину трубки $\text{L}$.

Решение:

Пусть $\text{L}$ - искомая длина трубки. До погружения в воду воздух в трубке занимает объем $V_0 = S \cdot L$, где $S = \pi r^2$ - площадь поперечного сечения канала трубки. Давление воздуха внутри трубки равно атмосферному давлению $p_0$.

После погружения трубки в воду на некоторую глубину, вода поднимается в капилляре на высоту $\text{h}$. Воздух оказывается запертым в объеме $V = S \cdot (L-h)$. Давление воздуха при этом становится равным $\text{p}$. Так как процесс можно считать изотермическим, по закону Бойля-Мариотта:

$p_0 V_0 = p V$

$p_0 S L = p S (L-h)$

Отсюда можно выразить давление воздуха $\text{p}$ в трубке после подъема воды:

$p = p_0 \frac{L}{L-h}$ (1)

С другой стороны, давление $\text{p}$ запертого воздуха можно найти из условия равновесия столбика воды в капилляре. Давление под вогнутым мениском воды на $ \Delta p_\sigma = \frac{2\sigma}{r} $ меньше, чем давление над ним (здесь мы считаем, что вода полностью смачивает стекло, поэтому краевой угол $\theta = 0$ и $\cos \theta = 1$). Давление воздуха $\text{p}$ уравновешивается атмосферным давлением $p_0$, гидростатическим давлением столба воды высотой $\text{h}$ и добавочным давлением Лапласа.

Рассмотрим давление на уровне свободной поверхности воды вне капилляра. Оно равно $p_0$. На этом же уровне внутри капилляра давление создается столбом воды высотой $\text{h}$ и давлением под мениском. Давление непосредственно под мениском равно $p - \Delta p_\sigma = p - \frac{2\sigma}{r}$. Тогда условие равновесия давлений на уровне свободной поверхности воды будет:

$p_0 = (p - \frac{2\sigma}{r}) + \rho g h$

Отсюда выразим давление воздуха $\text{p}$:

$p = p_0 - \rho g h + \frac{2\sigma}{r}$ (2)

Теперь приравняем правые части уравнений (1) и (2):

$p_0 \frac{L}{L-h} = p_0 - \rho g h + \frac{2\sigma}{r}$

Решим это уравнение относительно $\text{L}$:

$p_0 L = (p_0 - \rho g h + \frac{2\sigma}{r})(L-h)$

$p_0 L = L(p_0 - \rho g h + \frac{2\sigma}{r}) - h(p_0 - \rho g h + \frac{2\sigma}{r})$

$p_0 L - L(p_0 - \rho g h + \frac{2\sigma}{r}) = - h(p_0 - \rho g h + \frac{2\sigma}{r})$

$L(p_0 - p_0 + \rho g h - \frac{2\sigma}{r}) = - h(p_0 - \rho g h + \frac{2\sigma}{r})$

$L(\rho g h - \frac{2\sigma}{r}) = - h(p_0 - \rho g h + \frac{2\sigma}{r})$

$L = \frac{h(p_0 - \rho g h + \frac{2\sigma}{r})}{\frac{2\sigma}{r} - \rho g h}$

Вычислим значения давлений:

Гидростатическое давление: $\rho g h = 1000 \cdot 9,8 \cdot 0,01 = 98$ Па.

Давление Лапласа: $\frac{2\sigma}{r} = \frac{2 \cdot 7 \cdot 10^{-2}}{5 \cdot 10^{-4}} = \frac{14 \cdot 10^{-2}}{5 \cdot 10^{-4}} = 2,8 \cdot 10^2 = 280$ Па.

Подставим числовые значения в формулу для $\text{L}$:

$L = \frac{0,01 \cdot (100000 - 98 + 280)}{280 - 98} = \frac{0,01 \cdot 100182}{182} = \frac{1001,82}{182} \approx 5,5045$ м.

Округлим результат до десятых.

Ответ: Чтобы вода в трубке поднялась на высоту 1 см, длина трубки должна быть приблизительно равна 5,5 м.