Номер 17, страница 273 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 7. Поверхностное натяжение в жидкостях. Параграф 7.8. Примеры решения задач. Упражнение 6 - номер 17, страница 273.

Условие.

17. Стеклянная капиллярная трубка, внутренний диаметр которой $d = 0.5 \text{ мм}$, погружена в воду. Верхний конец трубки выступает на $h = 2 \text{ см}$ над поверхностью воды. Какую форму имеет мениск? Чему равен его радиус кривизны?

Решение.

Какую форму имеет мениск?

Так как вода является смачивающей жидкостью для стекла (силы межмолекулярного притяжения между молекулами воды и стекла превосходят силы притяжения между молекулами самой воды), она будет подниматься по стенкам капилляра. В результате поверхность воды (мениск) примет вогнутую форму, обращенную кривизной вниз.

Ответ: мениск имеет вогнутую форму.

Чему равен его радиус кривизны?

Дано:

Внутренний диаметр трубки, $d = 0,5$ мм
Высота трубки над поверхностью воды, $h = 2$ см
Плотность воды (при 20°C), $\rho \approx 1000$ кг/м³
Коэффициент поверхностного натяжения воды (при 20°C), $\sigma \approx 0,073$ Н/м
Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с²

Перевод в систему СИ:
$d = 0,5 \cdot 10^{-3}$ м, следовательно, радиус трубки $r = \frac{d}{2} = 0,25 \cdot 10^{-3}$ м
$h = 2 \cdot 10^{-2}$ м

Найти:

Радиус кривизны мениска $\text{R}$.

Решение:
Сначала необходимо определить, на какую максимальную высоту $h_{max}$ могла бы подняться вода в этой капиллярной трубке, если бы ее длина была достаточной. Эта высота рассчитывается по формуле Жюрена: $h_{max} = \frac{2\sigma \cos\theta}{\rho g r}$
Для случая полного смачивания (вода на чистом стекле) краевой угол $\theta$ равен 0, и $\cos\theta = 1$. Подставим известные значения, чтобы найти $h_{max}$: $h_{max} = \frac{2 \cdot 0,073 \text{ Н/м}}{1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 0,25 \cdot 10^{-3} \text{ м}} \approx 0,0596 \text{ м} \approx 6,0 \text{ см}$
Полученное значение максимальной высоты подъема ($h_{max} \approx 6$ см) больше, чем высота части трубки, выступающей над водой ($h = 2$ см). Это означает, что вода поднимется до самого верха трубки и остановится на высоте $h = 2$ см.
В этом случае столб воды высотой $\text{h}$ удерживается силой поверхностного натяжения. Гидростатическое давление столба жидкости $P_{гидр} = \rho g h$ уравновешивается избыточным (лапласовским) давлением под искривленной поверхностью мениска $\Delta P = \frac{2\sigma}{R}$, где $\text{R}$ – это радиус кривизны мениска.
Таким образом, мы можем записать равенство: $\rho g h = \frac{2\sigma}{R}$
Из этого уравнения выразим искомый радиус кривизны $\text{R}$: $R = \frac{2\sigma}{\rho g h}$
Теперь выполним вычисления: $R = \frac{2 \cdot 0,073 \text{ Н/м}}{1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 0,02 \text{ м}} = \frac{0,146}{196} \approx 0,000745 \text{ м}$
Переведем результат в миллиметры для наглядности: $R \approx 0,745 \text{ мм}$

Ответ: радиус кривизны мениска равен примерно 0,745 мм.