Номер 16, страница 273 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 7. Поверхностное натяжение в жидкостях. Параграф 7.8. Примеры решения задач. Упражнение 6 - номер 16, страница 273.

Условие.

16. В капиллярной трубке, опущенной вертикально в воду на глубину $\text{l}$, вода поднялась на высоту $\text{h}$ (рис. 7.33). Нижний конец трубки закрывают, вынимают её из воды и снова открывают. Определите длину столбика воды, оставшейся в трубке.

Рис. 7.33

Решение.

Дано:

$\text{h}$ - высота подъема воды в капилляре над уровнем в сосуде.

$\text{l}$ - глубина погружения нижнего конца капилляра.

Найти:

$\text{x}$ - длину столбика воды, оставшегося в трубке.

Решение:

1. В начальном состоянии, когда капиллярная трубка опущена в воду, вода в ней поднимается на высоту $\text{h}$. Это происходит за счет сил поверхностного натяжения. Давление под вогнутым мениском на $ \Delta p $ меньше, чем над ним. Это капиллярное давление уравновешивает гидростатическое давление столба воды высотой $\text{h}$. Следовательно, можно записать:

$\Delta p = \rho g h$

где $\rho$ — плотность воды, а $\text{g}$ — ускорение свободного падения. В этот момент общая длина столба воды, находящегося в трубке, составляет $l + h$.

2. Когда нижний конец трубки закрывают, извлекают ее из воды и затем снова открывают, столбик воды оказывается в воздухе. Теперь у него две свободные поверхности (мениска), на которых действуют силы поверхностного натяжения.

3. Рассмотрим равновесие столбика воды длиной $\text{x}$, оставшегося в трубке. На него действуют сила тяжести, направленная вниз, и силы поверхностного натяжения на верхнем и нижнем менисках, направленные вверх.

Удобнее использовать анализ давлений. Атмосферное давление снаружи трубки равно $p_0$.

Давление в воде сразу под верхним, вогнутым, мениском ($p_{верх}$) будет меньше атмосферного на величину капиллярного давления:

$p_{верх} = p_0 - \Delta p = p_0 - \rho g h$

Давление в воде сразу над нижним, выпуклым, мениском ($p_{низ}$) будет больше атмосферного на ту же величину капиллярного давления:

$p_{низ} = p_0 + \Delta p = p_0 + \rho g h$

С другой стороны, давления в верхней и нижней точках столбика воды связаны соотношением для гидростатического давления:

$p_{низ} = p_{верх} + \rho g x$

Подставим выражения для $p_{верх}$ и $p_{низ}$ в это уравнение:

$p_0 + \rho g h = (p_0 - \rho g h) + \rho g x$

Сокращая $p_0$ и преобразовывая уравнение, получаем:

$2 \rho g h = \rho g x$

Отсюда находим равновесную длину столбика воды:

$x = 2h$

4. Этот результат справедлив только в том случае, если в трубке изначально было достаточно воды для формирования такого столбика. Изначальная длина столба воды, запертого в трубке, была $l+h$.

Необходимо сравнить начальную длину столба воды $l+h$ с равновесной длиной $\text{2h}$.

Случай 1: $l \geq h$.

В этом случае начальная длина $l+h \geq h+h = 2h$. Это означает, что воды в трубке достаточно. Часть воды вытечет, пока длина столбика не достигнет равновесного значения $\text{2h}$.

Случай 2: $l < h$.

В этом случае начальная длина $l+h < 2h$. Максимальная удерживающая сила поверхностного натяжения (соответствующая столбу $\text{2h}$) больше, чем сила тяжести имеющегося столбика воды (длиной $l+h$). Поэтому вода не будет вытекать, и весь столбик останется в трубке.

Ответ: Длина столбика воды, оставшегося в трубке, равна $\text{2h}$, если $l \geq h$, и равна $l+h$, если $l < h$.