Номер 14, страница 272 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Глава 7. Поверхностное натяжение в жидкостях. Параграф 7.8. Примеры решения задач. Упражнение 6 - номер 14, страница 272.

Условие.

14. Докажите, что в случае неполного смачивания ($\theta \ne 0$) высота поднятия жидкости в вертикальной капиллярной трубке вычисляется по формуле $h = \frac{2\sigma\cos\theta}{r\\rhog}$, где $\theta$ — краевой угол, $\text{r}$ — радиус канала трубки и $\rho$ — плотность жидкости. Как изменится формула $h = \frac{2\sigma\cos\theta}{r\\rhog}$, если сосуд с жидкостью будет установлен в лифте, движущемся с ускорением $\text{a}$, направленным вверх; направленным вниз?

Решение.

Доказательство формулы $h = \frac{2\sigma\cos\theta}{r\rho g}$

Решение

Рассмотрим столбик жидкости, который поднялся в капилляре радиусом $\text{r}$ на высоту $\text{h}$ над общим уровнем жидкости. В состоянии равновесия этот столбик удерживается вертикальной составляющей силы поверхностного натяжения, которая уравновешивает силу тяжести, действующую на него.

Сила поверхностного натяжения $F_{\sigma}$ действует вдоль линии контакта жидкости и стенки капилляра (периметра смачивания), длина которой $L = 2\pi r$. Эта сила направлена под краевым углом $\theta$ к стенке трубки. Вертикальная составляющая этой силы, тянущая жидкость вверх, равна:

$F_{вверх} = F_{\sigma} \cos\theta = (\sigma L) \cos\theta = 2\pi r \sigma \cos\theta$

где $\sigma$ — коэффициент поверхностного натяжения.

Сила тяжести $F_{тяж}$, действующая на поднявшийся столбик жидкости, направлена вниз. Пренебрегая кривизной мениска, объем столбика жидкости можно считать равным объему цилиндра $V = \pi r^2 h$. Тогда масса жидкости $m = \rho V = \rho \pi r^2 h$, где $\rho$ — плотность жидкости. Сила тяжести равна:

$F_{вниз} = F_{тяж} = mg = \rho \pi r^2 h g$

где $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

В положении равновесия $F_{вверх} = F_{вниз}$:

$2\pi r \sigma \cos\theta = \rho \pi r^2 h g$

Выразив из этого равенства высоту $\text{h}$, получаем искомую формулу:

$h = \frac{2\pi r \sigma \cos\theta}{\rho \pi r^2 g} = \frac{2\sigma \cos\theta}{r\rho g}$

Что и требовалось доказать.

Лифт движется с ускорением a, направленным вверх

Решение

Когда лифт движется с ускорением $\text{a}$ вверх, вес жидкости увеличивается. Это эквивалентно замене в исходной формуле ускорения свободного падения $\text{g}$ на эффективное ускорение $g_{eff} = g + a$. Сила тяжести, действующая на столбик жидкости, будет $F'_{вниз} = m(g+a)$. Условие равновесия принимает вид:

$2\pi r \sigma \cos\theta = \rho \pi r^2 h' (g+a)$

Отсюда новая высота поднятия жидкости $h'$:

$h' = \frac{2\sigma \cos\theta}{r\rho (g+a)}$

Ответ: Формула примет вид $h = \frac{2\sigma \cos\theta}{r\rho (g+a)}$.

Лифт движется с ускорением a, направленным вниз

Решение

Когда лифт движется с ускорением $\text{a}$ вниз, вес жидкости уменьшается. Эффективное ускорение свободного падения становится равным $g_{eff} = g - a$ (при условии $a < g$). Сила тяжести, действующая на столбик жидкости, будет $F''_{вниз} = m(g-a)$. Условие равновесия принимает вид:

$2\pi r \sigma \cos\theta = \rho \pi r^2 h'' (g-a)$

Отсюда новая высота поднятия жидкости $h''$:

$h'' = \frac{2\sigma \cos\theta}{r\rho (g-a)}$

Ответ: Формула примет вид $h = \frac{2\sigma \cos\theta}{r\rho (g-a)}$.