Номер 2, страница 361 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Задачи для самостоятельного решения. Параграф 109. Примеры решения задач по теме «Закон Ома. Последовательное и параллельное соединения проводников». Глава 15. Законы постоянного тока - номер 2, страница 361.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Дано:

Схема из шести проводников, образующих квадрат с диагоналями. Сопротивление каждого проводника равно $r$.

$R_{AB} = R_{BC} = R_{CD} = R_{DA} = r$ (сопротивления сторон квадрата)

$R_{AC} = R_{BD} = r$ (сопротивления диагоналей)

В точке пересечения диагоналей контакта нет.

Все данные уже представлены в виде переменных, перевод в СИ не требуется.

Найти:

$R_{э1}$ — эквивалентное сопротивление при подключении к соседним вершинам.

$R_{э2}$ — эквивалентное сопротивление при подключении к вершинам, лежащим на одной диагонали.

Решение:

Обозначим вершины квадрата A, B, C, D по часовой стрелке.

1) Подключение источника тока к соседним вершинам (например, А и B)

Подключим источник тока к вершинам A и B. Пусть потенциал в точке A равен $U$, а в точке B равен $0$. Для нахождения эквивалентного сопротивления $R_{э1} = U/I_{общ}$, где $I_{общ}$ — полный ток через схему, нам нужно определить потенциалы в узлах C и D ($\phi_C$ и $\phi_D$). Воспользуемся правилами Кирхгофа для узлов C и D. Сумма токов, втекающих в узел, равна сумме токов, вытекающих из него (или алгебраическая сумма токов в узле равна нулю).

Для узла C (соединен с A, B, D):

Ток из A в C: $I_{AC} = (\phi_A - \phi_C) / R_{AC} = (U - \phi_C) / r$

Ток из B в C: $I_{BC} = (\phi_B - \phi_C) / R_{BC} = (0 - \phi_C) / r$

Ток из D в C: $I_{DC} = (\phi_D - \phi_C) / R_{DC} = (\phi_D - \phi_C) / r$

Уравнение для узла C: $I_{AC} + I_{BC} + I_{DC} = 0$, но здесь нужно быть аккуратнее с направлениями. Запишем сумму токов, вытекающих из узла C:

$\frac{\phi_C - \phi_A}{r} + \frac{\phi_C - \phi_B}{r} + \frac{\phi_C - \phi_D}{r} = 0$

$\frac{\phi_C - U}{r} + \frac{\phi_C - 0}{r} + \frac{\phi_C - \phi_D}{r} = 0$

$3\phi_C - \phi_D = U$ (1)

Для узла D (соединен с A, B, C):

Запишем сумму токов, вытекающих из узла D:

$\frac{\phi_D - \phi_A}{r} + \frac{\phi_D - \phi_B}{r} + \frac{\phi_D - \phi_C}{r} = 0$

$\frac{\phi_D - U}{r} + \frac{\phi_D - 0}{r} + \frac{\phi_D - \phi_C}{r} = 0$

$3\phi_D - \phi_C = U$ (2)

Мы получили систему из двух линейных уравнений:

$3\phi_C - \phi_D = U$

$-\phi_C + 3\phi_D = U$

Из первого уравнения выразим $\phi_D = 3\phi_C - U$ и подставим во второе:

$-\phi_C + 3(3\phi_C - U) = U$

$-\phi_C + 9\phi_C - 3U = U$

$8\phi_C = 4U$

$\phi_C = U/2$

Тогда $\phi_D = 3(U/2) - U = 3U/2 - 2U/2 = U/2$.

Поскольку потенциалы в точках C и D равны ($\phi_C = \phi_D$), ток через резистор $R_{CD}$, соединяющий эти точки, не течет. Следовательно, этот резистор можно мысленно удалить из схемы для расчета эквивалентного сопротивления.

После удаления резистора $R_{CD}$ схема состоит из трех параллельно соединенных ветвей между точками A и B:

1. Прямой путь через резистор $R_{AB}$ с сопротивлением $r$.

2. Путь через вершины A-C-B. Состоит из последовательно соединенных резисторов $R_{AC}$ (диагональ) и $R_{CB}$ (сторона). Общее сопротивление этой ветви $R_{ACB} = r + r = 2r$.

3. Путь через вершины A-D-B. Состоит из последовательно соединенных резисторов $R_{AD}$ (сторона) и $R_{DB}$ (диагональ). Общее сопротивление этой ветви $R_{ADB} = r + r = 2r$.

Эквивалентное сопротивление $R_{э1}$ найдем по формуле для параллельного соединения:

$\frac{1}{R_{э1}} = \frac{1}{R_{AB}} + \frac{1}{R_{ACB}} + \frac{1}{R_{ADB}} = \frac{1}{r} + \frac{1}{2r} + \frac{1}{2r}$

$\frac{1}{R_{э1}} = \frac{1}{r} + \frac{2}{2r} = \frac{1}{r} + \frac{1}{r} = \frac{2}{r}$

$R_{э1} = \frac{r}{2}$

Ответ: $R_{э1} = \frac{r}{2}$.

2) Подключение источника тока к вершинам, лежащим на одной диагонали (например, А и С)

Подключим источник тока к вершинам A и C. В этом случае схема обладает симметрией относительно диагонали AC. Точки B и D симметричны относительно оси, проходящей через A и C. Это означает, что их потенциалы должны быть равны: $\phi_B = \phi_D$.

Разность потенциалов между точками B и D равна нулю, следовательно, ток через резистор $R_{BD}$, соединяющий эти точки, не течет. Этот резистор можно мысленно удалить из схемы.

После удаления резистора $R_{BD}$ схема состоит из трех параллельно соединенных ветвей между точками A и C:

1. Прямой путь через диагональный резистор $R_{AC}$ с сопротивлением $r$.

2. Путь через вершину B (A-B-C). Состоит из последовательно соединенных резисторов $R_{AB}$ (сторона) и $R_{BC}$ (сторона). Общее сопротивление этой ветви $R_{ABC} = r + r = 2r$.

3. Путь через вершину D (A-D-C). Состоит из последовательно соединенных резисторов $R_{AD}$ (сторона) и $R_{DC}$ (сторона). Общее сопротивление этой ветви $R_{ADC} = r + r = 2r$.

Эквивалентное сопротивление $R_{э2}$ найдем по формуле для параллельного соединения:

$\frac{1}{R_{э2}} = \frac{1}{R_{AC}} + \frac{1}{R_{ABC}} + \frac{1}{R_{ADC}} = \frac{1}{r} + \frac{1}{2r} + \frac{1}{2r}$

$\frac{1}{R_{э2}} = \frac{1}{r} + \frac{2}{2r} = \frac{1}{r} + \frac{1}{r} = \frac{2}{r}$

$R_{э2} = \frac{r}{2}$

Ответ: $R_{э2} = \frac{r}{2}$.