Номер 2, страница 63 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

2. Длина минутной стрелки часов на Спасской башне Московского Кремля 3,5 м. Определите модуль и изменение направления линейной скорости конца стрелки через каждые 15 мин в течение часа.

Дано:

Длина минутной стрелки (радиус вращения), $R = 3,5 \text{ м}$

Интервал времени, $Δt = 15 \text{ мин}$

Период обращения минутной стрелки, $T = 60 \text{ мин}$

Перевод в систему СИ:

$R = 3,5 \text{ м}$

$T = 60 \text{ мин} = 60 \cdot 60 \text{ с} = 3600 \text{ с}$

$Δt = 15 \text{ мин} = 15 \cdot 60 \text{ с} = 900 \text{ с}$

Найти:

Модуль линейной скорости конца стрелки, $v - ?$

Изменение направления скорости через каждые 15 минут, $Δφ - ?$

Решение:

Модуль линейной скорости

Конец минутной стрелки совершает равномерное движение по окружности. Радиус этой окружности равен длине стрелки $R$. Период обращения $T$ минутной стрелки составляет 60 минут. Модуль линейной скорости $v$ постоянен и находится как отношение длины окружности $L = 2πR$ ко времени одного полного оборота $T$.

Формула для расчета модуля линейной скорости:

$v = \frac{2πR}{T}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$v = \frac{2 \cdot \pi \cdot 3,5 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{7\pi}{3600} \text{ м/с} \approx 0,0061 \text{ м/с}$

Это значение можно также выразить в миллиметрах в секунду: $0,0061 \text{ м/с} = 6,1 \text{ мм/с}$.

Ответ: Модуль линейной скорости конца стрелки постоянен и равен приблизительно $0,0061 \text{ м/с}$ (или $6,1 \text{ мм/с}$).

Изменение направления линейной скорости

Вектор линейной скорости всегда направлен по касательной к траектории движения, то есть к окружности. При повороте стрелки на некоторый угол, вектор скорости поворачивается на тот же самый угол. За полный оборот ($T = 60$ мин) стрелка поворачивается на $360°$. Угол поворота $Δφ$ за промежуток времени $Δt$ относительно начального положения можно рассчитать по формуле:

$Δφ = \frac{Δt}{T} \cdot 360°$

Рассмотрим изменение направления скорости относительно начального положения в указанные моменты времени:

Через 15 мин ($Δt = 15$ мин): угол поворота составит $Δφ_{15} = \frac{15 \text{ мин}}{60 \text{ мин}} \cdot 360° = \frac{1}{4} \cdot 360° = 90°$.

Через 30 мин ($Δt = 30$ мин): угол поворота составит $Δφ_{30} = \frac{30 \text{ мин}}{60 \text{ мин}} \cdot 360° = \frac{1}{2} \cdot 360° = 180°$. Вектор скорости будет направлен в противоположную сторону.

Через 45 мин ($Δt = 45$ мин): угол поворота составит $Δφ_{45} = \frac{45 \text{ мин}}{60 \text{ мин}} \cdot 360° = \frac{3}{4} \cdot 360° = 270°$.

Через 60 мин ($Δt = 60$ мин): угол поворота составит $Δφ_{60} = \frac{60 \text{ мин}}{60 \text{ мин}} \cdot 360° = 360°$ (или $0°$). Вектор скорости вернется в исходное направление.

Ответ: Относительно начального положения направление вектора линейной скорости изменяется: через 15 мин — на $90°$; через 30 мин — на $180°$; через 45 мин — на $270°$; через 60 мин — на $360°$ (то есть возвращается в исходное направление).