Номер 1, страница 194 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Обсудить в классе. Параграф 58. Броуновское движение. Глава 8. Основы молекулярно-кинетической теории - номер 1, страница 194.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Дано:

Набор бумажных кружочков разных диаметров.

Найти:

Продемонстрировать, что площадь, которую занимают кружочки, расположенные компактно вместе (вперемешку), меньше суммы площадей, занимаемых каждым кружочком по отдельности.

Решение:

Для решения этой задачи необходимо определить, что понимается под «площадью, занимаемой кружочком».

1. Площадь, занимаемая кружочком в отдельности. Будем интерпретировать это как площадь наименьшего квадрата, в который можно вписать данный кружок. Если диаметр кружка равен $d$, то сторона такого квадрата также равна $d$, а его площадь составляет $d^2$. Тогда для набора из $n$ кружочков «сумма площадей, занимаемых этими кружочками в отдельности» будет равна $S_{отдельно} = \sum_{i=1}^{n} d_i^2$.

2. Площадь, которую занимают кружочки, расположенные вперемешку. Это площадь наименьшего общего прямоугольника (или квадрата), в который можно поместить все кружочки одновременно, расположив их наиболее компактным образом. Обозначим эту площадь как $S_{вперемешку}$.

Задача сводится к тому, чтобы показать, что $S_{вперемешку} < S_{отдельно}$.

Рассмотрим пример с двумя кружками существенно разных диаметров: большим с диаметром $D$ и маленьким с диаметром $d$.

Сумма площадей, которые они занимают по отдельности, равна:

$S_{отдельно} = D^2 + d^2$

Теперь расположим их вперемешку. Эффект экономии пространства возникает, когда один объект можно разместить в «пустом» пространстве, которое неизбежно создается при упаковке другого. Попробуем разместить маленький кружок в углу квадрата, описывающего большой кружок.

Большой кружок с диаметром $D$ (и радиусом $R=D/2$) вписан в квадрат со стороной $D$. В углах этого квадрата остается свободное пространство. Маленький кружок с диаметром $d$ (и радиусом $r=d/2$) может поместиться в одном из этих углов, не пересекаясь с большим кружком, если его диаметр достаточно мал. Математически это условие выглядит так:

$d \le D \cdot (3 - 2\sqrt{2}) \approx 0.172 \cdot D$

Если это условие выполняется, то оба кружка можно уместить в одном квадрате со стороной $D$. Тогда площадь, занимаемая ими вперемешку, будет равна площади этого большого квадрата:

$S_{вперемешку} = D^2$

Сравним полученные площади:

$S_{вперемешку} = D^2$

$S_{отдельно} = D^2 + d^2$

Поскольку диаметр $d$ — положительная величина, то $d^2 > 0$, и, следовательно, $D^2 < D^2 + d^2$. Таким образом, мы показали, что $S_{вперемешку} < S_{отдельно}$.

Продемонстрируем на конкретном примере:

Пусть мы вырезали два кружка: большой с диаметром $D=20$ см и маленький с диаметром $d=3$ см.

Проверим, выполняется ли условие для компактной упаковки: $3 \le 20 \cdot (3 - 2\sqrt{2}) \approx 20 \cdot 0.172 = 3.44$ см. Условие $3 \le 3.44$ выполняется.

Рассчитаем площади:

1. Сумма площадей, занимаемых кружками по отдельности:

$S_{отдельно} = D^2 + d^2 = 20^2 + 3^2 = 400 + 9 = 409$ см².

2. Площадь, занимаемая кружками вперемешку (когда маленький кружок размещен в углу квадрата большого):

$S_{вперемешку} = D^2 = 20^2 = 400$ см².

Сравнивая результаты, видим, что $400$ см² $< 409$ см², что и требовалось показать. Этот эффект объясняется тем, что при смешивании объектов разных размеров более мелкие могут заполнять пустоты между более крупными, увеличивая общую плотность упаковки и уменьшая занимаемое общее пространство.

Ответ:

Если под «площадью, занимаемой кружком» понимать площадь его описывающего квадрата (равную $d^2$), то при смешивании кружков разных диаметров меньшие кружки могут быть размещены в пустующих угловых пространствах квадратов, описывающих большие кружки. В этом случае общая площадь, занимаемая смешанной композицией, становится меньше суммы площадей, занимаемых каждым кружком по отдельности. Например, для кружков с диаметрами $D=20$ см и $d=3$ см, сумма площадей их отдельных описывающих квадратов равна $20^2 + 3^2 = 409$ см², в то время как оба кружка можно уместить в один квадрат со стороной 20 см, площадь которого равна $400$ см². Так как $400 < 409$, утверждение продемонстрировано.