Номер 2, страница 202 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Обсудить в классе. Параграф 60. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов. Глава 9. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа - номер 2, страница 202.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Дано:

В газе имеется 4 группы молекул с разными скоростями:

• Группа 1: число молекул $N_1 = 10$, скорость $v_1 = 10$ м/с
• Группа 2: число молекул $N_2 = 10$, скорость $v_2 = 20$ м/с
• Группа 3: число молекул $N_3 = 10$, скорость $v_3 = 40$ м/с
• Группа 4: число молекул $N_4 = 5$, скорость $v_4 = 50$ м/с

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

1. Среднее значение модуля скорости $ \langle v \rangle $.

2. Среднее значение квадрата скорости $ \langle v^2 \rangle $.

3. Сравнить полученные результаты и сделать вывод.

Решение:

Сначала найдем общее число молекул в газе:

$N = N_1 + N_2 + N_3 + N_4 = 10 + 10 + 10 + 5 = 35$ молекул.

1. Определение среднего значения модуля скорости

Среднее значение модуля скорости (средняя арифметическая скорость) вычисляется по формуле:

$ \langle v \rangle = \frac{N_1 v_1 + N_2 v_2 + N_3 v_3 + N_4 v_4}{N} $

Подставим значения:

$ \langle v \rangle = \frac{10 \cdot 10 + 10 \cdot 20 + 10 \cdot 40 + 5 \cdot 50}{35} = \frac{100 + 200 + 400 + 250}{35} = \frac{950}{35} = \frac{190}{7} \approx 27.14 $ м/с.

Ответ: Среднее значение модуля скорости составляет примерно $27.14$ м/с.

2. Определение среднего значения квадрата скорости

Среднее значение квадрата скорости (средняя квадратичная скорость) вычисляется по формуле:

$ \langle v^2 \rangle = \frac{N_1 v_1^2 + N_2 v_2^2 + N_3 v_3^2 + N_4 v_4^2}{N} $

Подставим значения:

$ \langle v^2 \rangle = \frac{10 \cdot 10^2 + 10 \cdot 20^2 + 10 \cdot 40^2 + 5 \cdot 50^2}{35} = \frac{10 \cdot 100 + 10 \cdot 400 + 10 \cdot 1600 + 5 \cdot 2500}{35} $

$ \langle v^2 \rangle = \frac{1000 + 4000 + 16000 + 12500}{35} = \frac{33500}{35} = \frac{6700}{7} \approx 957.14 $ (м/с)$^2$.

Ответ: Среднее значение квадрата скорости составляет примерно $957.14$ (м/с)$^2$.

3. Сравнение результатов и вывод

Сравним среднее значение квадрата скорости $ \langle v^2 \rangle $ и квадрат среднего значения скорости $ (\langle v \rangle)^2 $.

Мы уже вычислили:

$ \langle v^2 \rangle \approx 957.14 $ (м/с)$^2$.

Теперь вычислим квадрат среднего значения скорости:

$ (\langle v \rangle)^2 = \left(\frac{190}{7}\right)^2 = \frac{36100}{49} \approx 736.73 $ (м/с)$^2$.

Сравнивая числовые значения, видим, что $957.14 > 736.73$.

Таким образом, $ \langle v^2 \rangle > (\langle v \rangle)^2 $.

Вывод: Среднее значение квадрата скорости не равно квадрату среднего значения скорости. Для любого набора молекул, скорости которых не одинаковы, средний квадрат скорости всегда будет больше, чем квадрат средней скорости. Эта разница принципиально важна в молекулярной физике, так как средняя кинетическая энергия молекул пропорциональна именно среднему квадрату скорости ($E_к \sim \langle v^2 \rangle$), а не квадрату средней скорости.

Ответ: Среднее значение квадрата скорости ($ \approx 957.14 $ (м/с)$^2$) больше, чем квадрат среднего значения скорости ($ \approx 736.73 $ (м/с)$^2$).