Номер 5, страница 204 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Вопросы к параграфу. Параграф 60. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов. Глава 9. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа - номер 5, страница 204.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Вопрос содержит два утверждения, которые мы разберем по отдельности.

Почему молекула при соударении со стенкой действует на неё с силой, пропорциональной скорости

Рассмотрим абсолютно упругое соударение одной молекулы массой $m_0$ со стенкой сосуда. Пусть ось $OX$ перпендикулярна стенке. Тогда до столкновения проекция скорости молекулы на эту ось равна $v_x$, а после столкновения, отразившись, она станет равна $–v_x$.

Импульс молекулы до столкновения равен $p_1 = m_0 v_x$, а после столкновения $p_2 = -m_0 v_x$. Изменение импульса молекулы за время соударения $\Delta t$ составляет:

$\Delta p_{молекулы} = p_2 - p_1 = -m_0 v_x - m_0 v_x = -2m_0 v_x$

Согласно третьему закону Ньютона, молекула передает стенке импульс, равный по модулю и противоположный по направлению изменению своего импульса:

$\Delta p_{стенки} = -\Delta p_{молекулы} = 2m_0 v_x$

Из этого выражения видно, что импульс, передаваемый стенке при одном ударе, прямо пропорционален скорости молекулы: $\Delta p_{стенки} \propto v_x$.

Сила, действующая на стенку во время удара, по второму закону Ньютона, равна $F = \frac{\Delta p_{стенки}}{\Delta t} = \frac{2m_0 v_x}{\Delta t}$. Если принять время соударения $\Delta t$ постоянной величиной, не зависящей от скорости, то сила, действующая со стороны одной молекулы во время удара, будет прямо пропорциональна ее скорости ($F \propto v_x$). Таким образом, утверждение о пропорциональности силы скорости является следствием прямой пропорциональности между переданным импульсом и скоростью.

Ответ: Сила, с которой молекула действует на стенку, определяется изменением ее импульса за время удара. Так как изменение импульса при упругом ударе ($\Delta p = 2m_0v$) прямо пропорционально скорости, то и средняя сила за короткое время удара также пропорциональна скорости.

Почему давление пропорционально квадрату скорости молекулы

Давление газа на стенку сосуда — это макроскопическая величина, которая создается совокупным действием огромного числа молекул, ударяющихся о стенку. Давление определяется как полная сила, действующая на единицу площади: $P = \frac{F_{общ}}{S}$.

Общая сила $F_{общ}$, в свою очередь, зависит от двух факторов, каждый из которых связан со скоростью молекул. Во-первых, это импульс, передаваемый при каждом ударе. Как мы выяснили выше, он пропорционален скорости молекулы ($\Delta p \propto v$). Во-вторых, это частота ударов, то есть количество молекул, ударяющихся о стенку за единицу времени. Чем выше скорость молекул, тем чаще они будут достигать стенки и ударяться о нее. Следовательно, частота ударов также пропорциональна скорости ($f_{ударов} \propto v$).

Поскольку давление зависит и от силы (импульса) каждого отдельного удара, и от их частоты, его зависимость от скорости является произведением этих двух пропорциональностей:

$P \propto (\text{импульс за удар}) \times (\text{частота ударов}) \propto v \cdot v = v^2$

Таким образом, давление газа оказывается пропорциональным квадрату скорости его молекул.

Более строгий вывод можно получить из основного уравнения молекулярно-кинетической теории (МКТ). За время $\Delta t$ до стенки площадью $S$ долетят и ударятся о нее те молекулы, которые находятся в объеме $V_{цилиндра} = S \cdot v_x \Delta t$. Если концентрация молекул $n$, то число таких молекул равно $n \cdot S \cdot v_x \Delta t$. Считая, что в среднем половина из них движется к стенке, число ударов $Z$ за время $\Delta t$ будет:

$Z = \frac{1}{2} n S v_x \Delta t$

Суммарный импульс, переданный стенке за это время:

$\Delta P_{общ} = Z \cdot \Delta p_{стенки} = \left(\frac{1}{2} n S v_x \Delta t\right) \cdot (2m_0 v_x) = n m_0 S v_x^2 \Delta t$

Тогда общая сила, действующая на стенку:

$F_{общ} = \frac{\Delta P_{общ}}{\Delta t} = n m_0 S v_x^2$

А давление:

$P = \frac{F_{общ}}{S} = n m_0 v_x^2$

Учитывая, что молекулы движутся хаотично во всех направлениях, и переходя к средней квадратичной скорости $\langle v^2 \rangle$, для которой выполняется соотношение $\langle v_x^2 \rangle = \frac{1}{3}\langle v^2 \rangle$, получаем основное уравнение МКТ:

$P = \frac{1}{3} n m_0 \langle v^2 \rangle$

Из этой формулы напрямую следует, что давление газа пропорционально средней квадратичной скорости его молекул: $P \propto \langle v^2 \rangle$.

Ответ: Давление зависит не только от силы каждого удара (которая пропорциональна скорости), но и от частоты ударов о стенку. Частота ударов также пропорциональна скорости молекул. В результате давление оказывается пропорциональным произведению двух величин, каждая из которых пропорциональна скорости, то есть квадрату скорости.