Номер 6, страница 204 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Вопросы к параграфу. Параграф 60. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов. Глава 9. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа - номер 6, страница 204.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Решение

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ) для идеального газа связывает макроскопическую величину — давление $p$ — с микроскопическими характеристиками молекул: их концентрацией $n$, массой одной молекулы $m_0$ и средним значением квадрата скорости их движения $\overline{v^2}$. Уравнение имеет вид:

$p = \frac{1}{3} n m_0 \overline{v^2}$

Множитель $\frac{1}{3}$ в этом уравнении возникает из-за двух фундаментальных предположений модели идеального газа: движение молекул происходит в трехмерном пространстве и является полностью хаотическим (изотропным).

Рассмотрим, как это происходит поэтапно:

1. Разложение скорости по осям. Скорость любой отдельной молекулы $\vec{v}$ является вектором. В трехмерной декартовой системе координат ее можно разложить на три взаимно перпендикулярные составляющие: $\vec{v}_x$, $\vec{v}_y$ и $\vec{v}_z$. По теореме Пифагора для пространства, квадрат модуля скорости связан с квадратами ее проекций следующим образом:

$v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2$

2. Усреднение. Так как в газе находится огромное количество молекул, движущихся с разными скоростями, для описания системы в целом используются средние значения. Усредним это равенство по всему ансамблю молекул:

$\overline{v^2} = \overline{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} = \overline{v_x^2} + \overline{v_y^2} + \overline{v_z^2}$

Здесь черта сверху означает операцию усреднения.

3. Принцип равноправия направлений (изотропия). Ключевым моментом является предположение о хаотичности движения. Это означает, что ни одно из направлений в пространстве не является предпочтительным для движения молекул. Следовательно, в среднем, движение вдоль каждой из трех осей ($x, y, z$) является одинаково интенсивным. Это приводит к тому, что средние квадраты проекций скоростей на оси равны друг другу:

$\overline{v_x^2} = \overline{v_y^2} = \overline{v_z^2}$

4. Вывод коэффициента. Теперь подставим это условие равноправия в усредненное уравнение для квадрата скорости:

$\overline{v^2} = \overline{v_x^2} + \overline{v_x^2} + \overline{v_x^2} = 3\overline{v_x^2}$

Отсюда мы видим, что средний квадрат проекции скорости на любую из осей составляет ровно одну треть от среднего квадрата полной скорости:

$\overline{v_x^2} = \frac{1}{3}\overline{v^2}$

5. Связь с давлением. Давление газа на стенку сосуда создается силой ударов молекул об эту стенку. При выводе основного уравнения МКТ показывается, что давление, например, на стенку, перпендикулярную оси $x$, определяется именно средним квадратом $x$-компоненты скорости:

$p = n m_0 \overline{v_x^2}$

Подставляя в эту формулу найденное выше соотношение $\overline{v_x^2} = \frac{1}{3}\overline{v^2}$, мы и получаем окончательный вид основного уравнения молекулярно-кинетической теории:

$p = n m_0 \left(\frac{1}{3}\overline{v^2}\right) = \frac{1}{3} n m_0 \overline{v^2}$

Ответ: Множитель $\frac{1}{3}$ в основном уравнении МКТ является прямым следствием того, что движение молекул рассматривается в трехмерном пространстве, и оно абсолютно хаотично (изотропно). Из-за хаотичности все три направления ($x, y, z$) равноправны, поэтому средний квадрат скорости молекул равномерно распределяется по трем осям. Давление на стенку создается только компонентой скорости, перпендикулярной ей, на которую в среднем приходится $1/3$ от полного среднего квадрата скорости, что и отражается в уравнении.