Номер 5, страница 269 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Образцы заданий ЕГЭ. Параграф 81. Примеры решения задач по теме «Внутренняя энергия. Работа». Глава 13. Основы термодинамики - номер 5, страница 269.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Дано:

Циклический процесс 1-2-3-4-1 для идеального газа, представленный на диаграмме в координатах давление-температура (p-T).

Из графика можно определить параметры состояний в условных единицах. Пусть одна клетка по оси температур соответствует $T_0$, а по оси давлений — $p_0$. Тогда:

• Температуры в узловых точках: $T_1 = T_4 = T_0$, $T_2 = T_3 = 3T_0$.
• Давления в узловых точках: $p_3 = p_4 = p_0$, $p_1 = p_2 = 2p_0$.

Найти:

Участок цикла, на котором работа газа наибольшая по модулю, то есть $|A|_{max}$.

Решение:

Работа, совершаемая газом, определяется изменением его объема. В общем случае работа $A$ при изменении объема от $V_i$ до $V_f$ вычисляется как $A = \int_{V_i}^{V_f} p \, dV$. Работа совершается только в тех процессах, где объем газа изменяется ($dV \neq 0$). Для анализа используем уравнение состояния идеального газа: $pV = \nu RT$, где $\nu$ - количество вещества, $R$ - универсальная газовая постоянная.

Рассмотрим каждый участок цикла.

Участок 1-2

На этом участке давление постоянно ($p = p_1 = 2p_0$), а температура растет от $T_1 = T_0$ до $T_2 = 3T_0$. Это изобарное расширение. Объем газа увеличивается, так как из $V = \frac{\nu R}{p}T$ следует, что $V \propto T$ при $p = const$. Работа газа положительна.

Работа при изобарном процессе: $A_{12} = p_1 \Delta V = p_1 (V_2 - V_1)$.

Используя уравнение состояния: $V_1 = \frac{\nu R T_1}{p_1}$ и $V_2 = \frac{\nu R T_2}{p_1}$.

$A_{12} = p_1 \left( \frac{\nu R T_2}{p_1} - \frac{\nu R T_1}{p_1} \right) = \nu R (T_2 - T_1)$.

Подставляя значения из графика: $A_{12} = \nu R (3T_0 - T_0) = 2\nu R T_0$.

Модуль работы: $|A_{12}| = 2\nu R T_0$.

Участок 2-3

На этом участке температура постоянна ($T = T_2 = 3T_0$), а давление уменьшается с $p_1 = 2p_0$ до $p_3 = p_0$. Это изотермическое расширение. Объем газа увеличивается, так как из $V = \frac{\nu R T}{p}$ следует, что $V \propto 1/p$ при $T = const$. Работа газа положительна.

Работа при изотермическом процессе: $A_{23} = \nu R T_2 \ln \frac{V_3}{V_2}$.

Так как $p_2V_2 = p_3V_3$, то $\frac{V_3}{V_2} = \frac{p_2}{p_3} = \frac{p_1}{p_3}$.

$A_{23} = \nu R T_2 \ln \frac{p_1}{p_3}$.

Подставляя значения из графика: $A_{23} = \nu R (3T_0) \ln \frac{2p_0}{p_0} = 3\nu R T_0 \ln 2$.

Модуль работы: $|A_{23}| = 3\nu R T_0 \ln 2$.

Участок 3-4

На этом участке давление постоянно ($p = p_3 = p_0$), а температура уменьшается от $T_3 = 3T_0$ до $T_4 = T_0$. Это изобарное сжатие ($V \propto T$). Работа газа отрицательна.

$A_{34} = p_3 \Delta V = p_3 (V_4 - V_3) = \nu R (T_4 - T_3)$.

Подставляя значения из графика: $A_{34} = \nu R (T_0 - 3T_0) = -2\nu R T_0$.

Модуль работы: $|A_{34}| = |-2\nu R T_0| = 2\nu R T_0$.

Участок 4-1

На этом участке температура постоянна ($T = T_1 = T_0$), а давление увеличивается с $p_4 = p_0$ до $p_1 = 2p_0$. Это изотермическое сжатие ($V \propto 1/p$). Работа газа отрицательна.

$A_{41} = \nu R T_1 \ln \frac{V_1}{V_4} = \nu R T_1 \ln \frac{p_4}{p_1}$.

Подставляя значения из графика: $A_{41} = \nu R T_0 \ln \frac{p_0}{2p_0} = \nu R T_0 \ln \frac{1}{2} = -\nu R T_0 \ln 2$.

Модуль работы: $|A_{41}| = |-\nu R T_0 \ln 2| = \nu R T_0 \ln 2$.

Теперь сравним модули работ на всех участках:

$|A_{12}| = 2\nu R T_0$

$|A_{23}| = 3 \ln(2) \cdot \nu R T_0$

$|A_{34}| = 2\nu R T_0$

$|A_{41}| = \ln(2) \cdot \nu R T_0$

Мы видим, что $|A_{12}| = |A_{34}|$.

Для сравнения $|A_{12}|$ и $|A_{23}|$ сравним коэффициенты $2$ и $3 \ln 2$.

Используем приближенное значение $\ln 2 \approx 0.693$.

$3 \ln 2 \approx 3 \times 0.693 = 2.079$.

Так как $2.079 > 2$, то $|A_{23}| > |A_{12}|$.

Сравнивая все величины, получаем:

$|A_{23}| \approx 2.079 \nu R T_0$

$|A_{12}| = |A_{34}| = 2 \nu R T_0$

$|A_{41}| \approx 0.693 \nu R T_0$

Таким образом, наибольшая по модулю работа совершается на участке 2-3.

Ответ: работа газа наибольшая по модулю на участке 2-3.