Номер 11, страница 283 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Буховцев

Задачи для самостоятельного решения. Параграф 86. Примеры решения задач по теме «Первый закон термодинамики». Глава 13. Основы термодинамики - номер 11, страница 283.

Условие.

Решение.

Решение 3.

Дано:

количество вещества гелия, $\nu = 0,1$ моль

масса поршня, $m_п = 90$ г $= 0,09$ кг

масса пули, $m_{пл} = 10$ г $= 0,01$ кг

скорость пули, $v_{пл} = 400$ м/с

универсальная газовая постоянная, $R \approx 8,31$ Дж/(моль·К)

Найти:

Изменение температуры гелия, $\Delta T$

Решение:

Процесс можно разделить на два этапа: абсолютно неупругое столкновение пули с поршнем и последующее адиабатическое сжатие газа.

1. Рассмотрим столкновение пули и поршня. Так как внешние горизонтальные силы отсутствуют (трения нет, цилиндр закреплён), для системы «пуля + поршень» выполняется закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось. Пусть $u$ — скорость поршня с застрявшей в нём пулей сразу после столкновения.

$m_{пл} v_{пл} = (m_п + m_{пл}) u$

Отсюда находим скорость $u$:

$u = \frac{m_{пл} v_{пл}}{m_п + m_{пл}}$

Подставим числовые значения:

$u = \frac{0,01 \text{ кг} \cdot 400 \text{ м/с}}{0,09 \text{ кг} + 0,01 \text{ кг}} = \frac{4}{0,1} = 40$ м/с

2. После столкновения поршень с пулей обладает кинетической энергией $E_k$. Эта система движется влево, сжимая газ, и останавливается в крайнем левом положении. По условию, газ не успевает обменяться теплом с поршнем и цилиндром, следовательно, процесс сжатия является адиабатическим, то есть количество теплоты $Q=0$.

Согласно первому закону термодинамики, изменение внутренней энергии газа $\Delta U$ равно сумме работы $A_{внеш}$, совершённой над газом внешними силами, и полученного газом количества теплоты $Q$:

$\Delta U = A_{внеш} + Q$

Так как $Q=0$, то $\Delta U = A_{внеш}$.

Работа внешних сил (поршня) над газом совершается за счёт уменьшения кинетической энергии системы «пуля + поршень». Когда поршень останавливается, вся его начальная кинетическая энергия переходит в работу по сжатию газа, а следовательно, во внутреннюю энергию газа.

$A_{внеш} = E_k = \frac{(m_п + m_{пл}) u^2}{2}$

Таким образом, изменение внутренней энергии газа равно начальной кинетической энергии поршня с пулей:

$\Delta U = \frac{(m_п + m_{пл}) u^2}{2}$

$\Delta U = \frac{(0,09 \text{ кг} + 0,01 \text{ кг}) \cdot (40 \text{ м/с})^2}{2} = \frac{0,1 \cdot 1600}{2} = 80$ Дж

3. Гелий — одноатомный газ, поэтому число степеней свободы $i=3$. Изменение его внутренней энергии связано с изменением температуры $\Delta T$ соотношением:

$\Delta U = \frac{i}{2} \nu R \Delta T = \frac{3}{2} \nu R \Delta T$

Приравняем два выражения для $\Delta U$ и выразим искомое изменение температуры $\Delta T$:

$\frac{3}{2} \nu R \Delta T = 80$ Дж

$\Delta T = \frac{2 \cdot \Delta U}{3 \nu R}$

Подставим числовые значения:

$\Delta T = \frac{2 \cdot 80 \text{ Дж}}{3 \cdot 0,1 \text{ моль} \cdot 8,31 \text{ Дж/(моль·К)}} = \frac{160}{2,493} \approx 64,18$ К

Округляя до двух значащих цифр, получаем, что температура гелия увеличится.

Ответ: температура гелия увеличится на $64$ К.