Номер 1110, страница 177, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Разные задачи - номер 1110, страница 177.

Условие.

1110. H Четыре заряда связаны нитями длиной $\text{a}$ каждая, образуя ромб (рис. 255). Определите силу натяжения нити, связывающей заряды $q_2$.

Рис. 255

Решение.

Дано:

Заряды: $q_1, q_2$

Длина нитей: $\text{a}$

Найти:

Силу натяжения нити $\text{T}$, связывающей заряды $q_2$.

Решение:

Система зарядов находится в равновесии, а это значит, что векторная сумма всех сил, действующих на каждый из зарядов, равна нулю. Геометрически заряды расположены в вершинах ромба, состоящего из двух равносторонних треугольников с общей стороной длиной $\text{a}$. Заряды $q_2$ находятся на концах этой общей стороны.

Рассмотрим условие равновесия для верхнего заряда $q_2$. Введем систему координат, направив ось $\text{Y}$ вертикально вверх вдоль линии, соединяющей заряды $q_2$, а ось $\text{X}$ — горизонтально. На этот заряд действуют: сила кулоновского взаимодействия от нижнего заряда $q_2$ ($\vec{F}_{22}$), силы от зарядов $q_1$ ($\vec{F}_{12}$), искомая сила натяжения $\vec{T}$ и силы натяжения боковых нитей $\vec{T}_s$.

Запишем условие равновесия для верхнего заряда $q_2$ в проекции на ось $\text{Y}$. Учитывая, что угол между боковой нитью и вертикалью равен $60^\circ$, получаем:$\sum F_y = F_{22} + 2 F_{12,y} - T - 2 T_{s,y} = 0$.Здесь $F_{22} = k \frac{q_2^2}{a^2}$, суммарная проекция сил от зарядов $q_1$ равна $2 F_{12,y} = 2 \cdot (k \frac{q_1 q_2}{a^2}) \cos(60^\circ) = k \frac{q_1 q_2}{a^2}$, а суммарная проекция сил натяжения боковых нитей $2 T_{s,y} = 2 T_s \cos(60^\circ) = T_s$.

Таким образом, уравнение равновесия для $q_2$ имеет вид:$k \frac{q_2^2}{a^2} + k \frac{q_1 q_2}{a^2} - T - T_s = 0$.Отсюда: $T = \frac{k}{a^2}(q_2^2 + q_1 q_2) - T_s \quad (1)$.

Для определения $T_s$ рассмотрим равновесие левого заряда $q_1$. Запишем условие равновесия в проекции на ось $\text{X}$. Расстояние между зарядами $q_1$ составляет $d_{11} = 2a \sin(60^\circ) = a\sqrt{3}$. Угол между боковой нитью и горизонталью равен $30^\circ$.$\sum F_x = -F_{11} - 2 F_{21,x} + 2 T_{s,x} = 0$.Здесь $F_{11} = k \frac{q_1^2}{(a\sqrt{3})^2} = k \frac{q_1^2}{3a^2}$ (сила отталкивания от правого $q_1$), $2 F_{21,x} = 2 \cdot (k \frac{q_1 q_2}{a^2}) \cos(30^\circ) = k \frac{\sqrt{3} q_1 q_2}{a^2}$ (суммарная сила от зарядов $q_2$), и $2 T_{s,x} = 2 T_s \cos(30^\circ) = T_s \sqrt{3}$ (суммарная сила натяжения).

Уравнение для $q_1$: $T_s \sqrt{3} - k \frac{q_1^2}{3a^2} - k \frac{\sqrt{3} q_1 q_2}{a^2} = 0$.Выразим $T_s$: $T_s = \frac{k}{a^2}(\frac{q_1^2}{3\sqrt{3}} + q_1 q_2) \quad (2)$.

Подставим выражение (2) в уравнение (1):$T = \frac{k}{a^2}(q_2^2 + q_1 q_2) - \frac{k}{a^2}(\frac{q_1^2}{3\sqrt{3}} + q_1 q_2) = \frac{k}{a^2}(q_2^2 + q_1 q_2 - \frac{q_1^2}{3\sqrt{3}} - q_1 q_2)$.

После упрощения получаем окончательное выражение для силы натяжения:

$T = \frac{k}{a^2} (q_2^2 - \frac{q_1^2}{3\sqrt{3}})$.

Ответ: Сила натяжения нити, связывающей заряды $q_2$, равна $T = \frac{k}{a^2} (q_2^2 - \frac{q_1^2}{3\sqrt{3}})$, где $\text{k}$ — постоянная Кулона (в СИ $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$).