Номер 1104, страница 176, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Разные задачи - номер 1104, страница 176.

Условие.

1104. H Два велосипедиста ездят по круговому треку. Радиус окружности дорожки первого велосипедиста в 3 раза больше радиуса окружности дорожки второго, а угловая скорость второго велосипедиста в 6 раз больше угловой скорости первого. Велосипедисты начинали движение в одном направлении из точек, находящихся на одном радиусе. Определите ближайшие моменты времени, когда они окажутся: 1) опять на одном радиусе; 2) на взаимно перпендикулярных радиусах. Время тренировки 6 ч.

Решение.

Дано:

$R_1 = 3R_2$

$\omega_2 = 6\omega_1$

$t_{общ} = 6 \text{ ч}$

$t_{общ} = 6 \cdot 3600 \text{ с} = 21600 \text{ с}$

Найти:

$t_k$ — моменты времени, когда они окажутся на одном радиусе.

$t_n$ — моменты времени, когда они окажутся на взаимно перпендикулярных радиусах.

Решение:

Поскольку велосипедисты начинают движение из точек, находящихся на одном радиусе, их начальные угловые положения можно принять за ноль ($\varphi_{01} = \varphi_{02} = 0$). Угол поворота для каждого велосипедиста в момент времени $\text{t}$ определяется формулой $\varphi(t) = \omega t$.

Угловое положение первого велосипедиста: $\varphi_1(t) = \omega_1 t$.

Угловое положение второго велосипедиста: $\varphi_2(t) = \omega_2 t$.

Так как они движутся в одном направлении, нас интересует их относительное угловое положение, которое определяется разностью углов $\Delta\varphi(t) = \varphi_2(t) - \varphi_1(t)$.

$\Delta\varphi(t) = \omega_2 t - \omega_1 t = (\omega_2 - \omega_1)t$.

Подставим известные соотношения: $\Delta\varphi(t) = (6\omega_1 - \omega_1)t = 5\omega_1 t$.

Введем период обращения первого велосипедиста $T_1 = \frac{2\pi}{\omega_1}$, откуда $\omega_1 = \frac{2\pi}{T_1}$.

Тогда разность углов можно выразить через период: $\Delta\varphi(t) = 5 \left(\frac{2\pi}{T_1}\right) t = \frac{10\pi t}{T_1}$.

1) опять на одном радиусе;

Велосипедисты окажутся на одном радиусе, когда разность их угловых положений будет кратна полному обороту, то есть $2\pi$.

$\Delta\varphi(t_k) = 2\pi k$, где $\text{k}$ — целое положительное число ($k=1, 2, 3, \ldots$).

$\frac{10\pi t_k}{T_1} = 2\pi k$

$\frac{5 t_k}{T_1} = k$

$t_k = \frac{k T_1}{5}$

Это означает, что велосипедисты будут встречаться на одном радиусе через промежутки времени, равные одной пятой периода первого велосипедиста. Ближайшие моменты времени (при $k=1, 2, 3, \ldots$): $\frac{T_1}{5}, \frac{2T_1}{5}, \frac{3T_1}{5}$ и так далее, пока $t_k \le 6$ ч.

Ответ: Велосипедисты окажутся на одном радиусе в моменты времени $t_k = k \cdot \frac{T_1}{5}$, где $k = 1, 2, 3, \ldots$ и $T_1$ — период обращения первого велосипедиста.

2) на взаимно перпендикулярных радиусах.

Велосипедисты окажутся на взаимно перпендикулярных радиусах, когда разность их угловых положений будет равна $\frac{\pi}{2}$ плюс целое число полуоборотов ($\pi n$).

$\Delta\varphi(t_n) = \frac{\pi}{2} + \pi n = \pi(n + \frac{1}{2})$, где $\text{n}$ — целое неотрицательное число ($n=0, 1, 2, \ldots$).

$\frac{10\pi t_n}{T_1} = \pi(n + \frac{1}{2})$

$\frac{10 t_n}{T_1} = n + \frac{1}{2} = \frac{2n+1}{2}$

$t_n = \frac{(2n+1)T_1}{20}$

Ближайшие моменты времени (при $n=0, 1, 2, \ldots$):

При $n=0$: $t_0 = \frac{T_1}{20}$

При $n=1$: $t_1 = \frac{3T_1}{20}$

При $n=2$: $t_2 = \frac{5T_1}{20} = \frac{T_1}{4}$

И так далее, пока $t_n \le 6$ ч.

Ответ: Велосипедисты окажутся на взаимно перпендикулярных радиусах в моменты времени $t_n = \frac{(2n+1)T_1}{20}$, где $n = 0, 1, 2, \ldots$ и $T_1$ — период обращения первого велосипедиста.