Номер 1099, страница 175, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Разные задачи - номер 1099, страница 175.

Условие.

1099. H Два тела массами $m_1 = 1,5 \text{ кг}$ и $m_2 = 0,45 \text{ кг}$ подвешены на нитях, прикреплённых к концам лёгкого коромысла, длины плеч которого равны $0,6 \text{ м}$ и $1 \text{ м}$ (рис. 250). Первое тело лежит на подставке. На какой минимальный угол $\alpha$ надо отклонить нить со вторым телом, чтобы, после того как его отпустят, первое тело оторвалось от подставки?

Рис. 250

Решение.

Дано:

$m_1 = 1,5$ кг

$m_2 = 0,45$ кг

$L_1 = 0,6$ м (плечо для тела $m_1$)

$L_2 = 1$ м (плечо для тела $m_2$)

Найти:

$\alpha$ — минимальный угол отклонения нити со вторым телом.

Решение:

Чтобы первое тело $m_1$ оторвалось от подставки, сила натяжения нити $T_1$, прикрепленной к нему, должна быть как минимум равна силе тяжести этого тела:

$T_1 \ge m_1 g$

Рассмотрим предельный случай, когда тело вот-вот оторвется, то есть $T_1 = m_1 g$.

В этот момент коромысло (рычаг) находится в равновесии. По правилу моментов, момент силы, создаваемый натяжением нити $T_1$ относительно точки опоры, должен быть равен моменту силы, создаваемому натяжением нити $T_2$:

$M_1 = M_2$

$T_1 L_1 = T_2 L_2$

Подставив $T_1 = m_1 g$, найдем необходимое для отрыва натяжение второй нити $T_2$:

$m_1 g L_1 = T_2 L_2$

$T_2 = \frac{m_1 g L_1}{L_2}$

Максимальная сила натяжения нити со вторым телом достигается, когда оно проходит нижнее положение равновесия после отклонения на угол $\alpha$. Найдем эту силу.

Сначала, используя закон сохранения энергии, найдем скорость тела $m_2$ в нижней точке. При отклонении на угол $\alpha$ тело поднимается на высоту $h = l(1 - \cos\alpha)$, где $\text{l}$ — длина нити маятника. Вся потенциальная энергия $E_p = m_2 g h$ переходит в кинетическую $E_k = \frac{1}{2}m_2 v^2$ в нижней точке:

$m_2 g h = \frac{1}{2}m_2 v^2$

$m_2 g l(1 - \cos\alpha) = \frac{1}{2}m_2 v^2$

Отсюда скорость в квадрате равна:

$v^2 = 2 g l(1 - \cos\alpha)$

Теперь запишем второй закон Ньютона для тела $m_2$ в нижней точке траектории. На тело действуют сила натяжения нити $T_2$ (вверх) и сила тяжести $m_2 g$ (вниз). Их равнодействующая сообщает телу центростремительное ускорение $a_c = \frac{v^2}{l}$:

$T_2 - m_2 g = m_2 a_c = m_2 \frac{v^2}{l}$

$T_2 = m_2 g + m_2 \frac{v^2}{l}$

Подставим в это уравнение выражение для $v^2$:

$T_2 = m_2 g + m_2 \frac{2 g l(1 - \cos\alpha)}{l} = m_2 g + 2 m_2 g(1 - \cos\alpha)$

$T_2 = m_2 g (1 + 2(1 - \cos\alpha)) = m_2 g (3 - 2 \cos\alpha)$

Теперь приравняем два полученных выражения для силы натяжения $T_2$:

$\frac{m_1 g L_1}{L_2} = m_2 g (3 - 2 \cos\alpha)$

Сократим обе части на $\text{g}$:

$\frac{m_1 L_1}{L_2} = m_2 (3 - 2 \cos\alpha)$

Выразим отсюда $\cos\alpha$:

$3 - 2 \cos\alpha = \frac{m_1 L_1}{m_2 L_2}$

$2 \cos\alpha = 3 - \frac{m_1 L_1}{m_2 L_2}$

$\cos\alpha = \frac{1}{2} \left( 3 - \frac{m_1 L_1}{m_2 L_2} \right)$

Подставим числовые значения:

$\cos\alpha = \frac{1}{2} \left( 3 - \frac{1,5 \cdot 0,6}{0,45 \cdot 1} \right) = \frac{1}{2} \left( 3 - \frac{0,9}{0,45} \right) = \frac{1}{2} (3 - 2) = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0,5$

Теперь найдем угол $\alpha$:

$\alpha = \arccos(0,5) = 60^\circ$

Ответ:

Минимальный угол, на который надо отклонить нить со вторым телом, чтобы первое тело оторвалось от подставки, равен $60^\circ$.