Номер 1093, страница 174, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Разные задачи - номер 1093, страница 174.

Условие.

1093. H Два тела движутся навстречу друг другу с одинаковой постоянной по модулю скоростью $v_0$ сначала по одной прямой (рис. 248), а затем — с момента, когда расстояние между ними было равно $\text{L}$, — по дуге окружности с ускорением $\text{a}$ и с той же по модулю скоростью. Найдите расстояние $\text{l}$ между телами как функцию времени.

Рис. 248

Решение.

Дано:

Начальная скорость тел (модуль): $v_0$

Начальное расстояние между телами: $\text{L}$

Ускорение на дуге окружности (модуль): $\text{a}$

Найти:

Расстояние между телами $\text{l}$ как функцию времени $\text{t}$.

Решение:

Разобьем решение на несколько этапов. За начало отсчета времени ($t=0$) примем момент, когда расстояние между телами равно $\text{L}$ и они начинают двигаться по дугам окружности.

1. Введем систему координат. Пусть ось $Ox$ проходит по прямой, вдоль которой тела двигались изначально, а начало координат $\text{O}$ находится посередине между телами в момент $t=0$. Тогда в начальный момент времени координаты тел будут:

Тело 1 (слева): $x_1(0) = -L/2$, $y_1(0) = 0$. Его вектор скорости $\vec{v}_1 = (v_0, 0)$.

Тело 2 (справа): $x_2(0) = L/2$, $y_2(0) = 0$. Его вектор скорости $\vec{v}_2 = (-v_0, 0)$.

2. Движение по дуге окружности. По условию, скорость тел по модулю остается постоянной и равной $v_0$. Это означает, что их ускорение $\text{a}$ является центростремительным (нормальным) ускорением.

Величина центростремительного ускорения связана с радиусом кривизны траектории $\text{R}$ и скоростью $v_0$ соотношением:

$a = a_n = \frac{v_0^2}{R}$

Отсюда можем найти радиус дуг окружностей, по которым движутся тела:

$R = \frac{v_0^2}{a}$

3. Угловая скорость. При движении по окружности с постоянной линейной скоростью $v_0$ угловая скорость $\omega$ также постоянна и равна:

$\omega = \frac{v_0}{R} = \frac{v_0}{v_0^2/a} = \frac{a}{v_0}$

За время $\text{t}$ тело повернется на угол $\theta(t) = \omega t = \frac{a}{v_0}t$.

4. Координаты тел в произвольный момент времени $t > 0$.

Из рисунка видно, что тела заворачивают вниз. Учитывая начальные положения и направления скоростей, центры окружностей, по которым движутся тела, будут иметь координаты:

Центр для тела 1: $C_1 = (-L/2, -R)$

Центр для тела 2: $C_2 = (L/2, -R)$

Теперь можем записать параметрические уравнения движения для каждого тела. Угол $\theta = \omega t$ будем отсчитывать от вертикальной оси, проходящей через центр соответствующей окружности.

Для тела 1:

$x_1(t) = -L/2 + R\sin(\theta) = -L/2 + R\sin(\omega t)$

$y_1(t) = -R + R\cos(\theta) = -R(1 - \cos(\omega t))$

Для тела 2:

$x_2(t) = L/2 - R\sin(\theta) = L/2 - R\sin(\omega t)$

$y_2(t) = -R + R\cos(\theta) = -R(1 - \cos(\omega t))$

5. Расстояние между телами.

Расстояние $\text{l}$ между телами в любой момент времени $\text{t}$ находится по формуле:

$l(t) = \sqrt{(x_2(t) - x_1(t))^2 + (y_2(t) - y_1(t))^2}$

Найдем разности координат:

$\Delta x = x_2(t) - x_1(t) = (L/2 - R\sin(\omega t)) - (-L/2 + R\sin(\omega t)) = L - 2R\sin(\omega t)$

$\Delta y = y_2(t) - y_1(t) = -R(1 - \cos(\omega t)) - (-R(1 - \cos(\omega t))) = 0$

Как видно, из-за симметрии движения тела всегда находятся на одной высоте.

Подставляем разности координат в формулу для расстояния:

$l(t) = \sqrt{(L - 2R\sin(\omega t))^2 + 0^2} = |L - 2R\sin(\omega t)|$

Поскольку в начальные моменты времени ($t \rightarrow 0$) расстояние должно уменьшаться, то $L - 2R\sin(\omega t)$ будет положительной величиной (до возможного столкновения). Поэтому модуль можно опустить.

$l(t) = L - 2R\sin(\omega t)$

6. Финальное выражение.

Подставим найденные ранее выражения для $\text{R}$ и $\omega$ в формулу для $l(t)$:

$l(t) = L - 2\frac{v_0^2}{a}\sin\left(\frac{a}{v_0}t\right)$

Это и есть искомая зависимость расстояния между телами от времени.

Ответ: $l(t) = L - 2\frac{v_0^2}{a}\sin\left(\frac{a}{v_0}t\right)$