Номер 1090, страница 174, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Разные задачи - номер 1090, страница 174.

Условие.

1090. H Со дна водоёма поднимается пузырёк воздуха. У поверхности воды его объём увеличивается в 4 раза. Определите глубину водоёма в предположении, что температура воды в нём везде одинакова.

Решение.

Дано:

Отношение объёмов: $V_2 / V_1 = 4$

Процесс изотермический: $T = \text{const}$

Атмосферное давление: $p_a \approx 10^5 \text{ Па}$

Плотность воды: $\rh°= 1000 \text{ кг/м}^3$

Ускорение свободного падения: $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

$\text{h}$ — глубина водоёма.

Решение:

Рассмотрим состояние воздуха в пузырьке в двух точках: на дне водоёма (состояние 1) и у его поверхности (состояние 2).

Давление на дне водоёма $p_1$ складывается из атмосферного давления $p_a$ и гидростатического давления столба воды высотой $\text{h}$:

$p_1 = p_a + \rh°g h$

Давление у поверхности воды $p_2$ равно атмосферному давлению:

$p_2 = p_a$

По условию, температура воды в водоёме везде одинакова. Это означает, что процесс подъёма пузырька является изотермическим, то есть происходит при постоянной температуре ($T = \text{const}$). Для такого процесса применим закон Бойля-Мариотта:

$p_1 V_1 = p_2 V_2$

где $V_1$ — объём пузырька на дне, а $V_2$ — объём пузырька у поверхности.

Из условия задачи известно, что объём пузырька у поверхности увеличился в 4 раза по сравнению с объёмом на дне:

$V_2 = 4 V_1$

Теперь подставим все известные выражения в закон Бойля-Мариотта:

$(p_a + \rh°g h) \cdot V_1 = p_a \cdot (4 V_1)$

Поскольку объём $V_1$ не равен нулю, мы можем сократить его в обеих частях уравнения:

$p_a + \rh°g h = 4 p_a$

Выразим из этого уравнения слагаемое, содержащее искомую глубину $\text{h}$:

$\rh°g h = 4 p_a - p_a$

$\rh°g h = 3 p_a$

Отсюда находим глубину $\text{h}$:

$h = \frac{3 p_a}{\rh°g}$

Подставим числовые значения физических величин в систему СИ:

$h = \frac{3 \cdot 10^5 \text{ Па}}{1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{300000}{10000} \text{ м} = 30 \text{ м}$

Ответ: глубина водоёма равна 30 м.