Номер 1085, страница 173, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Разные задачи - номер 1085, страница 173.

Условие.

1085. H Четыре одинаковых источника тока соединены так, как показано на рисунке 245. Определите количество теплоты, выделившейся во внешнем сопротивлении за 10 мин. ЭДС каждого источника равна 5 В, внутреннее сопротивление — 1 Ом, внешнее сопротивление равно 4 Ом. Определите ещё одно значение внешнего сопротивления, при котором выделится то же количество теплоты.

Рис. 245

Решение.

Дано:

Количество источников, $N=4$
ЭДС одного источника, $\mathcal{E} = 5$ В
Внутреннее сопротивление одного источника, $r = 1$ Ом
Внешнее сопротивление, $R_1 = 4$ Ом
Время, $t = 10$ мин

Перевод в систему СИ:
$t = 10 \cdot 60 = 600$ с

Найти:

$\text{Q}$ - количество теплоты
$R_2$ - второе значение внешнего сопротивления

Решение:

Схема состоит из двух параллельных ветвей. Каждая ветвь содержит два одинаковых источника, соединенных последовательно.

Найдем ЭДС и внутреннее сопротивление для одной ветви. При последовательном соединении ЭДС и сопротивления складываются:
$\mathcal{E}_{ветви} = \mathcal{E} + \mathcal{E} = 2\mathcal{E} = 2 \cdot 5 \text{ В} = 10$ В
$r_{ветви} = r + r = 2r = 2 \cdot 1 \text{ Ом} = 2$ Ом

Теперь найдем эквивалентную ЭДС и эквивалентное внутреннее сопротивление всей батареи, состоящей из двух одинаковых параллельных ветвей.
При параллельном соединении одинаковых источников ЭДС остается такой же, как у одной ветви:
$\mathcal{E}_{экв} = \mathcal{E}_{ветви} = 10$ В
Эквивалентное внутреннее сопротивление находится по формуле для параллельного соединения:
$\frac{1}{r_{экв}} = \frac{1}{r_{ветви}} + \frac{1}{r_{ветви}} = \frac{2}{r_{ветви}}$
$r_{экв} = \frac{r_{ветви}}{2} = \frac{2 \text{ Ом}}{2} = 1$ Ом

Таким образом, всю батарею можно заменить одним эквивалентным источником с $\mathcal{E}_{экв} = 10$ В и $r_{экв} = 1$ Ом.

Определите количество теплоты, выделившейся во внешнем сопротивлении за 10 мин.

По закону Ома для полной цепи найдем силу тока, протекающего через внешнее сопротивление $R_1$:
$I = \frac{\mathcal{E}_{экв}}{R_1 + r_{экв}} = \frac{10 \text{ В}}{4 \text{ Ом} + 1 \text{ Ом}} = \frac{10}{5} \text{ А} = 2$ А

Количество теплоты, выделившейся на внешнем сопротивлении, найдем по закону Джоуля-Ленца:
$Q = I^2 R_1 t$
$Q = (2 \text{ А})^2 \cdot 4 \text{ Ом} \cdot 600 \text{ с} = 4 \cdot 4 \cdot 600 \text{ Дж} = 16 \cdot 600 \text{ Дж} = 9600 \text{ Дж} = 9.6$ кДж

Ответ: $9600$ Дж.

Определите ещё одно значение внешнего сопротивления, при котором выделится то же количество теплоты.

Количество теплоты как функция от внешнего сопротивления $\text{R}$ выражается формулой:
$Q(R) = I^2 R t = \left(\frac{\mathcal{E}_{экв}}{R + r_{экв}}\right)^2 R t$

Нам нужно найти такое значение $R_2 \neq R_1$, что $Q(R_1) = Q(R_2)$.
$\left(\frac{\mathcal{E}_{экв}}{R_1 + r_{экв}}\right)^2 R_1 t = \left(\frac{\mathcal{E}_{экв}}{R_2 + r_{экв}}\right)^2 R_2 t$

Сократим обе части на $\mathcal{E}_{экв}^2$ и $\text{t}$:
$\frac{R_1}{(R_1 + r_{экв})^2} = \frac{R_2}{(R_2 + r_{экв})^2}$
$R_1(R_2 + r_{экв})^2 = R_2(R_1 + r_{экв})^2$
$R_1(R_2^2 + 2R_2 r_{экв} + r_{экв}^2) = R_2(R_1^2 + 2R_1 r_{экв} + r_{экв}^2)$
$R_1 R_2^2 + 2R_1 R_2 r_{экв} + R_1 r_{экв}^2 = R_1^2 R_2 + 2R_1 R_2 r_{экв} + R_2 r_{экв}^2$

Сокращаем $2R_1 R_2 r_{экв}$:
$R_1 R_2^2 + R_1 r_{экв}^2 = R_1^2 R_2 + R_2 r_{экв}^2$
$R_1 R_2^2 - R_1^2 R_2 = R_2 r_{экв}^2 - R_1 r_{экв}^2$
$R_1 R_2 (R_2 - R_1) = r_{экв}^2 (R_2 - R_1)$

Поскольку мы ищем $R_2 \neq R_1$, то $(R_2 - R_1) \neq 0$, и мы можем сократить на этот множитель:
$R_1 R_2 = r_{экв}^2$
$R_2 = \frac{r_{экв}^2}{R_1}$

Подставим числовые значения:
$R_2 = \frac{(1 \text{ Ом})^2}{4 \text{ Ом}} = \frac{1}{4} \text{ Ом} = 0.25$ Ом

Ответ: $0.25$ Ом.