Номер 1078, страница 172, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Разные задачи - номер 1078, страница 172.

Условие.

1078. H Запишите выражение для реактивной силы, действующей на работающий закреплённый воздушный вентилятор, потребляющий мощность $\text{N}$. Диаметр лопастей вентилятора $\text{D}$, коэффициент полезного действия $\eta$, плотность воздуха $\rho$. Считайте, что скорость воздуха по всему сечению струи, создаваемой вентилятором, постоянна.

Решение.

Дано:

Потребляемая мощность - $\text{N}$ [Вт]

Диаметр лопастей - $\text{D}$ [м]

Коэффициент полезного действия - $\eta$ [безразмерная величина]

Плотность воздуха - $\rho$ [кг/м³]

Найти:

Реактивная сила - $\text{F}$

Решение:

Реактивная сила, действующая на вентилятор, по третьему закону Ньютона равна по модулю и противоположна по направлению силе, с которой вентилятор действует на воздух. Эта сила сообщает воздуху импульс и равна изменению импульса воздуха за единицу времени.

Пусть вентилятор сообщает потоку воздуха скорость $\text{v}$. За время $\Delta t$ через сечение вентилятора проходит масса воздуха $\Delta m$. Сила, действующая на воздух, равна:

$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{\Delta m \cdot v}{\Delta t}$

Массу воздуха $\Delta m$, прошедшую через сечение вентилятора за время $\Delta t$, можно выразить через объем. Объем воздуха $\text{V}$ равен произведению площади поперечного сечения струи $\text{S}$ на расстояние $l = v \Delta t$, которое воздух проходит за это время.

$\Delta m = \rh°V = \rh°S l = \rh°S v \Delta t$

Площадь поперечного сечения струи $\text{S}$, создаваемой лопастями диаметром $\text{D}$, равна:

$S = \frac{\pi D^2}{4}$

Подставим выражение для массы в формулу для силы:

$F = \frac{(\rh°S v \Delta t) \cdot v}{\Delta t} = \rh°S v^2$

Заменив $\text{S}$, получим первое уравнение:

$F = \rh°\frac{\pi D^2}{4} v^2$ (1)

Полезная мощность вентилятора $P_{полезная}$ идет на сообщение кинетической энергии потоку воздуха. Она равна работе, совершаемой силой $\text{F}$ за единицу времени, или приросту кинетической энергии воздуха за единицу времени.

$P_{полезная} = \frac{\Delta E_k}{\Delta t} = \frac{\frac{1}{2} \Delta m v^2}{\Delta t} = \frac{1}{2} \left( \frac{\Delta m}{\Delta t} \right) v^2 = \frac{1}{2} (\rh°S v) v^2 = \frac{1}{2} \rh°S v^3$

С другой стороны, полезная мощность связана с потребляемой мощностью $\text{N}$ через КПД $\eta$:

$P_{полезная} = \eta N$

Приравняв два выражения для полезной мощности, получим второе уравнение:

$\eta N = \frac{1}{2} \rh°S v^3 = \frac{1}{2} \rh°\frac{\pi D^2}{4} v^3 = \frac{\rh°\pi D^2}{8} v^3$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными $\text{F}$ и $\text{v}$. Нам нужно выразить $\text{F}$ через известные величины, исключив $\text{v}$.

Из уравнения (1) выразим $v^2$:

$v^2 = \frac{4F}{\rh°\pi D^2}$

Из уравнения (2) выразим $v^3$:

$v^3 = \frac{8 \eta N}{\rh°\pi D^2}$

Чтобы исключить $\text{v}$, возведем первое выражение в куб, а второе — в квадрат, получив два выражения для $v^6$:

$(v^2)^3 = v^6 = \left( \frac{4F}{\rh°\pi D^2} \right)^3 = \frac{64 F^3}{\rho^3 \pi^3 D^6}$

$(v^3)^2 = v^6 = \left( \frac{8 \eta N}{\rh°\pi D^2} \right)^2 = \frac{64 \eta^2 N^2}{\rho^2 \pi^2 D^4}$

Приравняем правые части:

$\frac{64 F^3}{\rho^3 \pi^3 D^6} = \frac{64 \eta^2 N^2}{\rho^2 \pi^2 D^4}$

Сократим общие множители (64, $\rho^2$, $\pi^2$, $D^4$):

$\frac{F^3}{\rh°\pi D^2} = \eta^2 N^2$

Отсюда выражаем $F^3$:

$F^3 = \eta^2 N^2 \rh°\pi D^2$

Извлекая кубический корень, получаем окончательное выражение для реактивной силы:

$F = \sqrt[3]{\pi \rh°D^2 \eta^2 N^2}$

Ответ: $F = \sqrt[3]{\pi \rh°D^2 (\eta N)^2}$