Номер 1076, страница 171, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Разные задачи - номер 1076, страница 171.

Условие.

1076. H На рисунке 242 изображена призма Френеля, состоящая из двух призм с малым углом $\alpha = 0,001 \text{ рад}$ при вершине. Показатель преломления призмы равен 1,44. Длина призмы $AB = 4 \text{ см}$. На каком максимальном расстоянии от призмы еще можно наблюдать интерференционную картину, если на призму падает параллельный пучок лучей?

Рис. 242

Решение.

Дано:

Преломляющий угол каждой из призм, составляющих бипризму Френеля: $\alpha = 0,001$ рад

Показатель преломления материала призмы: $n = 1,44$

Длина (высота) призмы: $AB = H = 4$ см

$H = 4 \text{ см} = 0,04 \text{ м}$

Найти:

Максимальное расстояние от призмы, на котором можно наблюдать интерференционную картину: $L_{max}$

Решение:

Призма Френеля (бипризма) представляет собой две одинаковые призмы с малыми преломляющими углами $\alpha$, сложенные основаниями. Параллельный пучок света, падающий на бипризму, разделяется на два когерентных пучка. Верхняя половина исходного пучка, проходя через верхнюю призму, отклоняется вниз на угол $\delta$. Нижняя половина пучка, проходя через нижнюю призму, отклоняется вверх на тот же угол $\delta$.

Для призмы с малым преломляющим углом $\alpha$ угол отклонения лучей $\delta$ можно найти по формуле:

$\delta \approx (n-1)\alpha$

Подставим числовые значения:

$\delta = (1,44 - 1) \cdot 0,001 \text{ рад} = 0,44 \cdot 0,001 \text{ рад} = 0,00044 \text{ рад}$

Интерференционная картина наблюдается в области пространства, где эти два отклоненных пучка света перекрываются. Эта область имеет форму треугольника, основание которого лежит на выходной грани бипризмы, а вершина находится в точке, где пересекаются лучи, прошедшие через самые крайние точки призмы (A и B).

Максимальное расстояние $L_{max}$ от призмы, на котором еще можно наблюдать интерференцию, — это расстояние до вершины этого треугольника. Найдем это расстояние из геометрических соображений. Рассмотрим луч, прошедший через верхний край призмы (точка А на высоте $H/2$ от оптической оси), и луч, прошедший через нижний край (точка B на высоте $-H/2$). После преломления эти лучи направлены к оптической оси под углом $\delta$.

Из рисунка видно, что можно рассмотреть прямоугольный треугольник, у которого один катет — это искомое расстояние $L_{max}$, а другой катет — половина высоты призмы $H/2$. Угол, противолежащий катету $H/2$, равен углу отклонения $\delta$.

Для малых углов справедливо соотношение $\tan(\delta) \approx \delta$. Тогда:

$\delta = \frac{H/2}{L_{max}}$

Отсюда выразим максимальное расстояние $L_{max}$:

$L_{max} = \frac{H}{2\delta}$

Подставим вычисленные и данные значения:

$L_{max} = \frac{0,04 \text{ м}}{2 \cdot 0,00044 \text{ рад}} = \frac{0,04}{0,00088} \text{ м} = \frac{400}{8,8} \text{ м} = \frac{500}{11} \text{ м} \approx 45,45 \text{ м}$

Ответ: максимальное расстояние от призмы, на котором ещё можно наблюдать интерференционную картину, составляет приблизительно $45,45$ м.