Номер 1075, страница 171, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Разные задачи - номер 1075, страница 171.

Условие.

1075. H Маятник, состоящий из жёсткого невесомого стержня длиной $\text{l}$ и прикреплённого к нему заряженного шарика массой $\text{m}$ с зарядом $-q$, подвешен в точке $\text{O}$ (рис. 241). На расстоянии $\text{a}$ от точки $\text{O}$ помещён заряд $+q$. При каком соотношении параметров задачи шарик, располагаясь в нижнем положении, будет находиться в состоянии устойчивого равновесия?

Рис. 241

Решение.

Дано:

Длина стержня: $\text{l}$

Масса шарика: $\text{m}$

Заряд шарика: $-q$

Заряд, помещенный над точкой подвеса: $+q$

Расстояние от точки подвеса до заряда $+q$: $\text{a}$

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Постоянная Кулона: $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$

Найти:

Соотношение между параметрами, при котором нижнее положение шарика является состоянием устойчивого равновесия.

Решение:

Состояние равновесия является устойчивым, если при малом отклонении системы от этого положения её потенциальная энергия возрастает. Иными словами, в положении устойчивого равновесия потенциальная энергия системы должна иметь локальный минимум.

Рассмотрим систему при отклонении шарика на малый угол $\theta$ от вертикального положения. Полная потенциальная энергия шарика $U(\theta)$ складывается из гравитационной потенциальной энергии $U_g$ и электростатической потенциальной энергии $U_e$.

$U(\theta) = U_g(\theta) + U_e(\theta)$

Выберем нулевой уровень гравитационной потенциальной энергии в точке подвеса $\text{O}$. Тогда при отклонении на угол $\theta$ высота шарика относительно точки $\text{O}$ будет $y = -l \cos(\theta)$, а гравитационная потенциальная энергия:

$U_g(\theta) = mgy = -mgl \cos(\theta)$

Электростатическая потенциальная энергия взаимодействия двух зарядов $+q$ и $-q$ равна:

$U_e(\theta) = k \frac{(+q)(-q)}{r} = -k \frac{q^2}{r}$

где $\text{r}$ — расстояние между зарядами. Из геометрии системы (по теореме косинусов для треугольника, образованного точкой подвеса $\text{O}$, зарядом $+q$ и шариком) найдем квадрат расстояния $\text{r}$:

$r^2 = l^2 + a^2 - 2al \cos(\pi - \theta) = l^2 + a^2 + 2al \cos(\theta)$

Следовательно, $r = \sqrt{l^2 + a^2 + 2al \cos(\theta)}$.

Тогда полная потенциальная энергия системы как функция угла отклонения $\theta$:

$U(\theta) = -mgl \cos(\theta) - \frac{kq^2}{\sqrt{l^2 + a^2 + 2al \cos(\theta)}}$

Для того чтобы положение равновесия при $\theta = 0$ было устойчивым, необходимо выполнение условия минимума потенциальной энергии, а именно, вторая производная потенциальной энергии по углу должна быть положительной: $\frac{d^2U}{d\theta^2}\bigg|_{\theta=0} > 0$.

Сначала найдем первую производную $\frac{dU}{d\theta}$:

$\frac{dU}{d\theta} = \frac{d}{d\theta} \left( -mgl \cos(\theta) - kq^2(l^2 + a^2 + 2al \cos(\theta))^{-1/2} \right)$

$\frac{dU}{d\theta} = mgl \sin(\theta) - kq^2 \left( -\frac{1}{2} \right) (l^2 + a^2 + 2al \cos(\theta))^{-3/2} (-2al \sin(\theta))$

$\frac{dU}{d\theta} = mgl \sin(\theta) - \frac{kq^2 al \sin(\theta)}{(l^2 + a^2 + 2al \cos(\theta))^{3/2}}$

При $\theta = 0$, $\sin(0) = 0$, поэтому $\frac{dU}{d\theta}\bigg|_{\theta=0} = 0$, что подтверждает, что нижнее положение является положением равновесия.

Теперь найдем вторую производную. Удобнее представить первую производную как произведение:

$\frac{dU}{d\theta} = \sin(\theta) \cdot \left( mgl - \frac{kq^2 al}{(l^2 + a^2 + 2al \cos(\theta))^{3/2}} \right)$

По правилу производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$, при $\theta=0$ второе слагаемое $uv'$ обратится в ноль, так как $u = \sin(\theta) = 0$. Поэтому достаточно найти значение выражения $u'v$ при $\theta=0$:

$\frac{d^2U}{d\theta^2}\bigg|_{\theta=0} = \cos(0) \cdot \left( mgl - \frac{kq^2 al}{(l^2 + a^2 + 2al \cos(0))^{3/2}} \right)$

$\frac{d^2U}{d\theta^2}\bigg|_{\theta=0} = 1 \cdot \left( mgl - \frac{kq^2 al}{(l^2 + a^2 + 2al)^{3/2}} \right) = mgl - \frac{kq^2 al}{((l+a)^2)^{3/2}} = mgl - \frac{kq^2 al}{(l+a)^3}$

Условие устойчивости равновесия $\frac{d^2U}{d\theta^2}\bigg|_{\theta=0} > 0$ принимает вид:

$mgl - \frac{kq^2 al}{(l+a)^3} > 0$

Перенесем второе слагаемое в правую часть и сократим на $\text{l}$ (так как $l > 0$):

$mg > \frac{kq^2 a}{(l+a)^3}$

Это и есть искомое соотношение. Физически оно означает, что возвращающий момент, создаваемый силой тяжести, должен превышать дестабилизирующий момент, создаваемый силой кулоновского притяжения, при малых отклонениях от положения равновесия.

Ответ:

Шарик будет находиться в состоянии устойчивого равновесия, если сила тяжести $mg$ удовлетворяет неравенству: $mg > \frac{kq^2 a}{(l+a)^3}$, или, в развернутом виде, $mg > \frac{q^2 a}{4\pi\epsilon_0(l+a)^3}$.