Номер 1068, страница 170, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Разные задачи - номер 1068, страница 170.

Условие.

1068. H В заряженный плоский конденсатор с расстоянием между пластинами $\text{d}$ внесли диэлектрическую пластину толщиной $d/3$ с диэлектрической проницаемостью $\epsilon$. Напряжённость электрического поля воздушного конденсатора была равна $\text{E}$. Определите напряжённость поля в диэлектрической пластине для двух случаев:

1) конденсатор присоединён к источнику;

2) конденсатор отключён от источника.

Решение.

Дано:

$\text{d}$ - начальное расстояние между пластинами

$d_1 = d/3$ - толщина диэлектрической пластины

$\epsilon$ - диэлектрическая проницаемость пластины

$\text{E}$ - начальная напряжённость электрического поля в воздушном конденсаторе

Найти:

$E_d$ - напряжённость поля в диэлектрической пластине для двух случаев.

Решение:

В начальном состоянии (воздушный конденсатор) напряжение между обкладками и поверхностная плотность заряда на них связаны с напряжённостью поля $\text{E}$ следующими соотношениями:

Напряжение: $U = E \cdot d$

Поверхностная плотность заряда: $\sigma = \epsilon_0 E$, где $\epsilon_0$ - электрическая постоянная.

Рассмотрим два случая, описанных в задаче.

1) конденсатор присоединён к источнику;

В этом случае напряжение на обкладках конденсатора остаётся постоянным и равным начальному напряжению $U = E \cdot d$.

После внесения диэлектрической пластины пространство между обкладками можно разделить на два слоя: диэлектрик толщиной $d_1 = d/3$ и воздушный зазор толщиной $d_2 = d - d_1 = 2d/3$.

Пусть $E'_d$ - напряжённость поля в диэлектрике, а $E'_{air}$ - напряжённость поля в воздушном зазоре. Общее напряжение является суммой падений напряжений на каждом слое:

$U = E'_d \cdot d_1 + E'_{air} \cdot d_2$

Вектор электрического смещения $\text{D}$ одинаков в обоих слоях, так как он определяется только свободными зарядами на пластинах. Таким образом, $D' = \epsilon_0 \epsilon E'_d = \epsilon_0 E'_{air}$. Отсюда следует соотношение между напряжённостями полей:

$E'_{air} = \epsilon E'_d$

Подставим это соотношение и значения толщин в формулу для напряжения:

$U = E'_d \cdot \frac{d}{3} + (\epsilon E'_d) \cdot \frac{2d}{3}$

Вынесем общие множители за скобки:

$U = E'_d \cdot d \left( \frac{1}{3} + \frac{2\epsilon}{3} \right) = E'_d \cdot d \frac{1+2\epsilon}{3}$

Так как $U = E \cdot d$, мы можем приравнять два выражения для напряжения:

$E \cdot d = E'_d \cdot d \frac{1+2\epsilon}{3}$

Сократив $\text{d}$, выразим искомую напряжённость поля в диэлектрике:

$E'_d = E \frac{3}{1+2\epsilon}$

Ответ: Напряжённость поля в диэлектрической пластине равна $E \frac{3}{1+2\epsilon}$.

2) конденсатор отключён от источника;

В этом случае заряд $\text{Q}$ на пластинах конденсатора остаётся постоянным. Следовательно, поверхностная плотность заряда $\sigma$ также не изменяется: $\sigma = \epsilon_0 E$.

Электрическое смещение $\text{D}$ внутри конденсатора определяется только поверхностной плотностью свободных зарядов: $D = \sigma$. Так как $\sigma$ не меняется, вектор смещения $\text{D}$ остаётся постоянным после внесения диэлектрика: $D' = D = \sigma = \epsilon_0 E$.

Напряжённость электрического поля $E_d$ внутри диэлектрика связана с электрическим смещением $D'$ соотношением $D' = \epsilon_0 \epsilon E_d$.

Приравняем два выражения для $D'$:

$\epsilon_0 E = \epsilon_0 \epsilon E_d$

Отсюда находим напряжённость поля в диэлектрической пластине:

$E_d = \frac{E}{\epsilon}$

Ответ: Напряжённость поля в диэлектрической пластине равна $\frac{E}{\epsilon}$.