Номер 1065, страница 169, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Реальные газы - номер 1065, страница 169.

Условие.

1065. H Используя уравнение Ван-дер-Ваальса, покажите, что при одном и том же давлении при некоторых температурах возможны три значения объёма газа.

Решение.

Решение

Уравнение состояния Ван-дер-Ваальса для одного моля газа имеет вид:

$ (p + \frac{a}{V_m^2})(V_m - b) = RT $

где $\text{p}$ – давление, $V_m$ – молярный объем, $\text{T}$ – абсолютная температура, $\text{R}$ – универсальная газовая постоянная, а $\text{a}$ и $\text{b}$ – постоянные Ван-дер-Ваальса, характеризующие межмолекулярное взаимодействие и собственный объем молекул соответственно.

Преобразуем это уравнение, чтобы выразить его в виде полинома относительно $V_m$. Для этого раскроем скобки и умножим обе части на $V_m^2$:

$ (p V_m^2 + a)(V_m - b) = RT V_m^2 $

$ p V_m^3 - pb V_m^2 + a V_m - ab = RT V_m^2 $

Сгруппируем члены при одинаковых степенях $V_m$:

$ p V_m^3 - (pb + RT)V_m^2 + a V_m - ab = 0 $

Разделив на $\text{p}$ (при $p \neq 0$), получим кубическое уравнение относительно молярного объема $V_m$:

$ V_m^3 - (b + \frac{RT}{p})V_m^2 + \frac{a}{p} V_m - \frac{ab}{p} = 0 $

Как известно, кубическое уравнение может иметь один или три действительных корня. Число действительных корней зависит от коэффициентов уравнения, которые, в свою очередь, зависят от заданных значений давления $\text{p}$ и температуры $\text{T}$. Наличие трех действительных корней означает, что при данных $\text{p}$ и $\text{T}$ возможно существование трех различных значений объема $V_m$.

Проанализируем этот вопрос графически, рассмотрев изотермы Ван-дер-Ваальса – зависимости давления $\text{p}$ от объема $V_m$ при постоянной температуре $\text{T}$. Выразим давление из исходного уравнения:

$ p(V_m) = \frac{RT}{V_m - b} - \frac{a}{V_m^2} $

Решения кубического уравнения для заданных $\text{p}$ и $\text{T}$ – это точки пересечения графика функции $p(V_m)$ (изотермы) с горизонтальной прямой $p = \text{const}$.

Форма изотермы зависит от температуры. Существует так называемая критическая температура $T_c = \frac{8a}{27Rb}$.

1. При температурах выше критической ($T > T_c$), давление монотонно убывает с ростом объема. В этом случае любая горизонтальная прямая $p = \text{const}$ пересекает изотерму только в одной точке. Это означает, что кубическое уравнение имеет только один действительный корень, и для газа возможен только один объем.

2. При температурах ниже критической ($T < T_c$), изотерма имеет характерную S-образную форму с локальным минимумом и локальным максимумом. Это происходит потому, что уравнение $(\frac{\partial p}{\partial V_m})_T = 0$ имеет два действительных положительных решения. На графике $p(V_m)$ это соответствует наличию "волны".

Если для такой изотермы ($T < T_c$) выбрать давление $\text{p}$ в интервале между значениями в точках минимума и максимума ($p_{min} < p < p_{max}$), то горизонтальная прямая $p = \text{const}$ пересечет график изотермы в трех точках. Каждая точка пересечения соответствует действительному корню кубического уравнения, то есть одному из возможных значений объема газа ($V_1$, $V_2$, $V_3$) при данных $\text{p}$ и $\text{T}$.

Таким образом, анализ уравнения Ван-дер-Ваальса показывает, что при температурах ниже критической в определенном диапазоне давлений для реального газа возможны три значения объема при одних и тех же $\text{p}$ и $\text{T}$. (Физически реализуемыми из них являются два крайних, соответствующих жидкой и газообразной фазам, а среднее значение соответствует неустойчивому состоянию).

Ответ: Уравнение Ван-дер-Ваальса можно представить в виде кубического уравнения относительно объема $V_m$. При температурах ниже критической ($T < T_c$) график зависимости давления от объема (изотерма) имеет S-образную форму. Вследствие этого, при определенном давлении, лежащем в диапазоне между локальным минимумом и максимумом изотермы, горизонтальная линия $p = \text{const}$ пересекает ее в трех точках, что соответствует трем возможным действительным значениям объема газа при заданных давлении и температуре.