Номер 1072, страница 171, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Разные задачи - номер 1072, страница 171.

Условие.

1072. H Тело поочерёдно соскальзывает по двум гладким поверхностям A и B, как показано на рисунке 239. Радиусы кривизны поверхностей одинаковы. Время соскальзывания по какой поверхности будет больше?

Рис. 239

Решение.

Решение

Для решения этой задачи сравним движение тела по поверхностям A и B. Поскольку по условию поверхности гладкие, мы можем пренебречь силой трения. В этом случае на тело действуют только сила тяжести и сила нормальной реакции опоры. Работа силы нормальной реакции равна нулю, так как она перпендикулярна перемещению. Работу совершает только сила тяжести, которая является консервативной силой. Это означает, что для тела будет выполняться закон сохранения полной механической энергии.

Закон сохранения механической энергии гласит, что сумма кинетической и потенциальной энергии тела остается постоянной. Если тело начинает движение из точки 1 из состояния покоя, его начальная кинетическая энергия равна нулю. Скорость тела $\text{v}$ в любой другой точке траектории, находящейся на высоте $\text{h}$ ниже начальной точки 1, может быть найдена из соотношения:$mg \Delta h = \frac{mv^2}{2}$где $\Delta h$ — разность высот между начальной и текущей точками. Отсюда скорость тела:$v = \sqrt{2g \Delta h}$Из этой формулы видно, что скорость тела в любой момент времени зависит только от того, на какую высоту оно опустилось. Чем больше потеря высоты, тем больше скорость.

Теперь сравним траектории A и B:

1. Траектория A (вогнутая): На этой траектории тело вначале движется по более крутому склону. Это означает, что оно быстро теряет высоту и, следовательно, быстро набирает скорость. На протяжении большей части пути тело движется с высокой скоростью.

2. Траектория B (выпуклая): Здесь начальный участок траектории более пологий. Тело теряет высоту медленно и, соответственно, медленно набирает скорость. Только ближе к концу пути уклон становится круче, и скорость начинает расти быстрее.

Таким образом, для любой промежуточной точки пути (за исключением начальной и конечной) тело, движущееся по траектории A, будет находиться ниже и иметь большую скорость, чем тело, движущееся по траектории B. Следовательно, средняя скорость движения по пути A будет выше, чем средняя скорость по пути B.

В условии сказано, что радиусы кривизны поверхностей одинаковы. Так как обе кривые соединяют одни и те же начальную и конечную точки, можно заключить, что длины путей A и B равны ($s_A = s_B = s$).

Время движения $\text{t}$ определяется длиной пути $\text{s}$ и скоростью на этом пути. Поскольку средняя скорость на пути A больше, чем на пути B, а длины путей одинаковы, время движения по пути A будет меньше, чем по пути B ($t_A < t_B$).

Ответ: Время соскальзывания будет больше по поверхности B.