Номер 1077, страница 172, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Разные задачи - номер 1077, страница 172.

Условие.

1077. H Небольшое плоское зеркало массой $10^{-5}\text{ кг}$ подвешено вертикально на невесомой нити длиной $10\text{ см}$. На зеркало по нормали к нему попадает пучок света от импульсного лазера. На какой максимальный угол может отклониться нить от вертикали, если энергия лазерного импульса равна $10\text{ Дж}$?

Решение.

Дано:

$m = 10^{-5}$ кг

$L = 10$ см

$E = 10$ Дж

Перевод в систему СИ:

$L = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

$\alpha_{max}$

Решение:

Световой импульс лазера, обладающий энергией $\text{E}$, несет в себе импульс $p_{света}$. Связь между энергией и импульсом фотонов (света) выражается формулой:

$p_{света} = \frac{E}{c}$

где $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с – скорость света в вакууме.

Пучок света падает на зеркало по нормали и отражается от него. При идеальном отражении импульс отраженного света равен по модулю импульсу падающего, но направлен в противоположную сторону. Следовательно, изменение импульса света будет равно:

$\Delta p_{света} = p_{отр} - p_{пад} = (-p_{света}) - p_{света} = -2p_{света} = -\frac{2E}{c}$

Согласно закону сохранения импульса, импульс, который свет передает зеркалу, равен по модулю и противоположен по направлению изменению импульса света:

$\Delta p_{зеркала} = - \Delta p_{света} = \frac{2E}{c}$

Этот импульс сообщает зеркалу, которое до этого находилось в состоянии покоя, начальную скорость $\text{v}$. Из определения импульса:

$\Delta p_{зеркала} = m v$

Отсюда находим начальную скорость зеркала сразу после взаимодействия с лазерным импульсом:

$v = \frac{\Delta p_{зеркала}}{m} = \frac{2E}{mc}$

После получения начальной скорости зеркало, подвешенное на нити, начинает движение как математический маятник. Его начальная кинетическая энергия $\text{K}$ переходит в потенциальную энергию $\text{U}$ в точке максимального отклонения, где его скорость становится равной нулю. По закону сохранения механической энергии:

$K = U$

$\frac{1}{2}mv^2 = mgh$

где $\text{h}$ – максимальная высота подъема зеркала, а $g \approx 9.8$ м/с² – ускорение свободного падения.

Из этого уравнения можно выразить высоту $\text{h}$:

$h = \frac{v^2}{2g}$

Высота подъема $\text{h}$ связана с длиной нити $\text{L}$ и максимальным углом отклонения $\alpha_{max}$ через геометрическое соотношение:

$h = L - L\cos(\alpha_{max}) = L(1 - \cos(\alpha_{max}))$

Приравнивая два выражения для $\text{h}$ и подставляя формулу для скорости $\text{v}$, получаем:

$L(1 - \cos(\alpha_{max})) = \frac{1}{2g} \left( \frac{2E}{mc} \right)^2 = \frac{4E^2}{2gm^2c^2} = \frac{2E^2}{gm^2c^2}$

Угол отклонения, как правило, в таких задачах очень мал. Для малых углов (в радианах) справедливо приближение: $1 - \cos(\alpha_{max}) \approx \frac{\alpha_{max}^2}{2}$.

Подставим это приближение в наше уравнение:

$L\frac{\alpha_{max}^2}{2} = \frac{2E^2}{gm^2c^2}$

Выразим искомый угол $\alpha_{max}$:

$\alpha_{max}^2 = \frac{4E^2}{gLm^2c^2}$

$\alpha_{max} = \sqrt{\frac{4E^2}{gLm^2c^2}} = \frac{2E}{mc\sqrt{gL}}$

Подставим числовые значения:

$\alpha_{max} = \frac{2 \cdot 10 \text{ Дж}}{10^{-5} \text{ кг} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} \cdot \sqrt{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 0.1 \text{ м}}} = \frac{20}{3 \cdot 10^3 \cdot \sqrt{0.98}} \approx \frac{20}{3000 \cdot 0.99} \approx 6.73 \cdot 10^{-3} \text{ рад}$

Переведем результат в градусы для наглядности:

$\alpha_{max} \approx 6.73 \cdot 10^{-3} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx 0.386^\circ$

Ответ: Максимальный угол, на который может отклониться нить, составляет приблизительно $6.73 \cdot 10^{-3}$ рад или $0.386^\circ$.