Номер 1081, страница 172, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Разные задачи - номер 1081, страница 172.

Условие.

1081. H Как изменится плотность сухого воздуха при увеличении влажности от 10 до 90 %? Температура воздуха $20^\circ \text{C}$, давление влажного воздуха постоянно.

Решение.

Дано:

Начальная относительная влажность $\phi_1 = 10\%$

Конечная относительная влажность $\phi_2 = 90\%$

Температура воздуха $t = 20 ^\circ \text{C}$

Давление влажного воздуха постоянно $P_{вл} = \text{const}$

В системе СИ:

$\phi_1 = 0.1$

$\phi_2 = 0.9$

$T = 20 + 273.15 = 293.15 \text{ К}$

Найти:

Как изменится плотность сухого воздуха $\rho_с$.

Решение:

Влажный воздух представляет собой смесь двух газов: сухого воздуха и водяного пара. Согласно закону Дальтона, общее давление влажного воздуха $P_{вл}$ равно сумме парциальных давлений сухого воздуха $P_с$ и водяного пара $P_п$:

$P_{вл} = P_с + P_п$

По условию задачи, общее давление влажного воздуха $P_{вл}$ остается постоянным.

Парциальное давление водяного пара $P_п$ связано с относительной влажностью $\phi$ и давлением насыщенного пара $P_н$ при данной температуре по формуле:

$P_п = \phi \cdot P_н$

Так как температура воздуха постоянна ($t=20 ^\circ \text{C}$), давление насыщенного пара $P_н$ также является постоянной величиной. При увеличении влажности от $\phi_1=10\%$ до $\phi_2=90\%$ парциальное давление водяного пара увеличивается, так как $\phi_2 > \phi_1$, следовательно, $P_{п2} > P_{п1}$.

Из закона Дальтона выразим парциальное давление сухого воздуха:

$P_с = P_{вл} - P_п$

Поскольку $P_{вл}$ постоянно, а $P_п$ увеличивается, парциальное давление сухого воздуха $P_с$ уменьшается. То есть, $P_{с2} < P_{с1}$.

Плотность сухого воздуха $\rho_с$ как компонента газовой смеси связана с его парциальным давлением $P_с$ уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона):

$P_с V = \frac{m_с}{M_с} R T$

где $m_с$ - масса сухого воздуха в объеме $\text{V}$, $M_с$ - молярная масса сухого воздуха, $\text{R}$ - универсальная газовая постоянная, $\text{T}$ - абсолютная температура. Плотность сухого воздуха $\rho_с = \frac{m_с}{V}$. Отсюда:

$P_с = \frac{\rho_с}{M_с} R T \implies \rho_с = \frac{P_с M_с}{R T}$

Так как молярная масса сухого воздуха $M_с$, универсальная газовая постоянная $\text{R}$ и температура $\text{T}$ являются постоянными величинами, плотность сухого воздуха $\rho_с$ прямо пропорциональна его парциальному давлению $P_с$.

Поскольку парциальное давление сухого воздуха уменьшается ($P_{с2} < P_{с1}$), то и его плотность также уменьшается ($\rho_{с2} < \rho_{с1}$).

Найдем, во сколько раз изменится плотность. Для этого найдем отношение конечной плотности к начальной:

$\frac{\rho_{с2}}{\rho_{с1}} = \frac{P_{с2}}{P_{с1}} = \frac{P_{вл} - P_{п2}}{P_{вл} - P_{п1}} = \frac{P_{вл} - \phi_2 P_н}{P_{вл} - \phi_1 P_н}$

Для проведения расчета примем давление влажного воздуха равным нормальному атмосферному давлению, $P_{вл} \approx 101325 \text{ Па}$. Давление насыщенного водяного пара при температуре $t=20 ^\circ \text{C}$ по таблицам составляет $P_н \approx 2340 \text{ Па}$.

Подставим числовые значения:

$\frac{\rho_{с2}}{\rho_{с1}} = \frac{101325 - 0.9 \cdot 2340}{101325 - 0.1 \cdot 2340} = \frac{101325 - 2106}{101325 - 234} = \frac{99219}{101091} \approx 0.9815$

Таким образом, плотность уменьшится в $1 / 0.9815 \approx 1.019$ раз, или на $(1 - 0.9815) \cdot 100\% = 1.85\%$.

Ответ: Плотность сухого воздуха уменьшится. Она составит примерно $98.15\%$ от первоначального значения, то есть уменьшится на $1.85\%$.