Номер 1083, страница 172, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Разные задачи - номер 1083, страница 172.

Условие.

1083 Н. К источнику постоянного тока параллельно подключили конденсатор ёмкостью $20 \text{ мкФ}$ и катушку индуктивностью $0,02 \text{ Гн}$ (рис. 243). Значения установившихся напряжения на конденсаторе и силы тока в катушке равны соответственно $100 \text{ В}$ и $2 \text{ А}$. После отключения источника в контуре возникают колебания. Какой заряд будет на пластинах конденсатора в тот момент, когда ток в катушке станет равным $1 \text{ А}$? Контур считайте идеальным, активное сопротивление проводов не учитывайте.

Рис. 243

Решение.

Дано:

Ёмкость конденсатора, $C = 20 \text{ мкФ} = 20 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

Индуктивность катушки, $L = 0,02 \text{ Гн}$

Начальное напряжение на конденсаторе, $U_0 = 100 \text{ В}$

Начальный ток в катушке, $I_0 = 2 \text{ А}$

Ток в катушке в искомый момент времени, $I = 1 \text{ А}$

Найти:

Заряд на пластинах конденсатора, $\text{q}$

Решение:

После отключения источника постоянного тока в LC-контуре возникают свободные электромагнитные колебания. Так как контур считается идеальным (без активного сопротивления), полная электромагнитная энергия в нём сохраняется.

Полная энергия контура $\text{W}$ в любой момент времени является суммой энергии электрического поля в конденсаторе $W_C$ и энергии магнитного поля в катушке $W_L$:

$W = W_C + W_L = \frac{q^2}{2C} + \frac{LI^2}{2}$

В начальный момент времени (сразу после отключения источника) полная энергия контура $W_{полн}$ была равна:

$W_{полн} = \frac{CU_0^2}{2} + \frac{LI_0^2}{2}$

В тот момент, когда ток в катушке стал равен $\text{I}$, энергия контура $\text{W}$ складывается из энергии заряженного конденсатора и энергии катушки с током:

$W = \frac{q^2}{2C} + \frac{LI^2}{2}$

Согласно закону сохранения энергии, полная энергия контура остаётся неизменной, то есть $W_{полн} = W$:

$\frac{CU_0^2}{2} + \frac{LI_0^2}{2} = \frac{q^2}{2C} + \frac{LI^2}{2}$

Домножим обе части уравнения на $\text{2}$ для упрощения:

$CU_0^2 + LI_0^2 = \frac{q^2}{C} + LI^2$

Выразим из этого уравнения $q^2$:

$\frac{q^2}{C} = CU_0^2 + LI_0^2 - LI^2$

$q^2 = C(CU_0^2 + L(I_0^2 - I^2)) = C^2U_0^2 + CL(I_0^2 - I^2)$

Теперь можно извлечь корень, чтобы найти величину заряда $\text{q}$:

$q = \sqrt{C^2U_0^2 + CL(I_0^2 - I^2)}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$q = \sqrt{(20 \cdot 10^{-6} \text{ Ф})^2 \cdot (100 \text{ В})^2 + (20 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}) \cdot 0,02 \text{ Гн} \cdot ((2 \text{ А})^2 - (1 \text{ А})^2)}$

$q = \sqrt{(400 \cdot 10^{-12}) \cdot 10000 + (0,4 \cdot 10^{-6}) \cdot (4 - 1)}$

$q = \sqrt{4 \cdot 10^{-6} + (0,4 \cdot 10^{-6}) \cdot 3}$

$q = \sqrt{4 \cdot 10^{-6} + 1,2 \cdot 10^{-6}}$

$q = \sqrt{5,2 \cdot 10^{-6}} \text{ Кл}$

$q = \sqrt{5,2} \cdot 10^{-3} \text{ Кл} \approx 2,28 \cdot 10^{-3} \text{ Кл}$

Ответ: заряд на пластинах конденсатора будет равен приблизительно $2,28 \cdot 10^{-3} \text{ Кл}$ (или $2,28 \text{ мКл}$).