Номер 1089, страница 173, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Разные задачи - номер 1089, страница 173.

Условие.

1089. H Во сколько раз скорость метеорита, входящего в атмосферу Земли, больше скорости звука. Скорость звука считайте равной 330 м/с. Граница атмосферы находится приблизительно на расстоянии 1000 км от поверхности Земли.

Решение.

Дано:

$v_{з} = 330$ м/с

$h = 1000$ км

Справочные данные:

$g \approx 9.8$ м/с² (ускорение свободного падения у поверхности Земли)

$R \approx 6400$ км (средний радиус Земли)

Перевод в СИ:

$h = 1000 \text{ км} = 1 \times 10^6$ м

$R \approx 6400 \text{ км} = 6.4 \times 10^6$ м

Найти:

$\frac{v_{м}}{v_{з}}$

Решение:

Скорость метеорита, входящего в атмосферу Земли, может варьироваться в широких пределах. В рамках данной задачи разумно предположить, что метеорит падает на Землю из далекого космоса, и его скорость при входе в атмосферу равна второй космической скорости (скорости убегания) на данной высоте. Эта скорость определяется из закона сохранения энергии для тела, движущегося в гравитационном поле Земли.

Вторая космическая скорость на высоте $\text{h}$ над поверхностью Земли вычисляется по формуле:

$v_{м} = \sqrt{\frac{2GM}{R+h}}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса Земли, $\text{R}$ — радиус Земли.

Для удобства расчетов воспользуемся формулой для ускорения свободного падения у поверхности Земли: $g = \frac{GM}{R^2}$. Отсюда можно выразить произведение $GM = gR^2$.

Подставим это выражение в формулу для скорости метеорита:

$v_{м} = \sqrt{\frac{2gR^2}{R+h}}$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ и произведем расчет:

$v_{м} = \sqrt{\frac{2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot (6.4 \times 10^6 \text{ м})^2}{6.4 \times 10^6 \text{ м} + 1 \times 10^6 \text{ м}}} = \sqrt{\frac{19.6 \cdot 40.96 \times 10^{12}}{7.4 \times 10^6}} \text{ м/с}$

$v_{м} = \sqrt{\frac{802.816 \times 10^{12}}{7.4 \times 10^6}} \text{ м/с} \approx \sqrt{108.49 \times 10^6} \text{ м/с} \approx 10416 \text{ м/с}$

Таким образом, скорость метеорита при входе в атмосферу составляет примерно $10416$ м/с, или $10.4$ км/с.

Теперь найдем, во сколько раз скорость метеорита больше скорости звука:

$\frac{v_{м}}{v_{з}} = \frac{10416 \text{ м/с}}{330 \text{ м/с}} \approx 31.56$

Учитывая, что исходные данные в задаче (высота атмосферы, радиус Земли) являются приблизительными, округлим полученный результат до целого числа.

$\frac{v_{м}}{v_{з}} \approx 32$

Ответ: скорость метеорита, входящего в атмосферу Земли, больше скорости звука примерно в 32 раза.