Номер 1091, страница 174, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Разные задачи - номер 1091, страница 174.

Условие.

1091. H На рисунке 247 показана система блоков. Через первый блок перекинута нить, к концам которой привязаны второй блок и тело массой $m_1$. К нити, перекинутой через второй блок, привязаны два тела массами $m_2$ и $m_3$. Определите ускорение тела массой $m_1$. Массами блоков и нитей можно пренебречь.

Рис. 247

Решение.

Дано:

Массы тел: $m_1, m_2, m_3$.
Система блоков и нитей, как на рисунке 247.
Массами блоков и нитей можно пренебречь.
Нити нерастяжимы.

Найти:

$a_1$ - ускорение тела массой $m_1$.

Решение:

Введём систему отсчета, связанную с землей. Направим ось $Oy$ вертикально вверх. Пусть $a_1, a_2, a_3$ — это проекции ускорений тел с массами $m_1, m_2, m_3$ на ось $Oy$. $T_1$ — сила натяжения нити, перекинутой через неподвижный блок 1, а $T_2$ — сила натяжения нити, перекинутой через подвижный блок 2. Ускорение свободного падения — $\text{g}$.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на ось $Oy$ для каждого из трёх тел, а также для подвижного блока, масса которого по условию равна нулю.

Для тела массой $m_1$:

$T_1 - m_1g = m_1a_1$ (1)

Для подвижного блока 2 (с учётом того, что его масса $m_p=0$):

$T_1 - 2T_2 = m_p a_p = 0 \implies T_1 = 2T_2$ (2)

Для тела массой $m_2$:

$T_2 - m_2g = m_2a_2$ (3)

Для тела массой $m_3$:

$T_2 - m_3g = m_3a_3$ (4)

Поскольку нити нерастяжимы, ускорения тел связаны между собой. Ускорение подвижного блока $a_p$ связано с ускорением тела $m_1$ соотношением $a_p = -a_1$. Ускорения тел $m_2$ и $m_3$ связаны с ускорением подвижного блока $a_p$ следующим образом: полусумма их ускорений равна ускорению блока, то есть $\frac{a_2+a_3}{2} = a_p$.

Объединяя эти кинематические связи, получаем:

$a_2 + a_3 = 2a_p = -2a_1$ (5)

Мы получили систему из пяти уравнений (1-5) с пятью неизвестными ($a_1, a_2, a_3, T_1, T_2$). Решим эту систему, чтобы найти $a_1$.

Из уравнения (2) подставим $T_1=2T_2$ в уравнение (1):

$2T_2 - m_1g = m_1a_1 \implies T_2 = \frac{m_1(g+a_1)}{2}$ (6)

Из уравнений (3) и (4) выразим ускорения $a_2$ и $a_3$ через $T_2$:

$a_2 = \frac{T_2 - m_2g}{m_2} = \frac{T_2}{m_2} - g$

$a_3 = \frac{T_2 - m_3g}{m_3} = \frac{T_2}{m_3} - g$

Подставим полученные выражения для $a_2$ и $a_3$ в уравнение кинематической связи (5):

$\left(\frac{T_2}{m_2} - g\right) + \left(\frac{T_2}{m_3} - g\right) = -2a_1$

$T_2\left(\frac{1}{m_2} + \frac{1}{m_3}\right) - 2g = -2a_1$

$T_2\frac{m_2+m_3}{m_2m_3} = 2g - 2a_1 = 2(g-a_1)$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $T_2$ из (6):

$\frac{m_1(g+a_1)}{2} \cdot \frac{m_2+m_3}{m_2m_3} = 2(g-a_1)$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение, чтобы выразить $a_1$:

$m_1(g+a_1)(m_2+m_3) = 4m_2m_3(g-a_1)$

$m_1g(m_2+m_3) + m_1a_1(m_2+m_3) = 4m_2m_3g - 4m_2m_3a_1$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $a_1$, в одной части уравнения, а остальные — в другой:

$m_1a_1(m_2+m_3) + 4m_2m_3a_1 = 4m_2m_3g - m_1g(m_2+m_3)$

Вынесем $a_1$ и $\text{g}$ за скобки:

$a_1(m_1(m_2+m_3) + 4m_2m_3) = g(4m_2m_3 - m_1(m_2+m_3))$

Наконец, находим искомое ускорение $a_1$:

$a_1 = g \frac{4m_2m_3 - m_1(m_2+m_3)}{4m_2m_3 + m_1(m_2+m_3)}$

Полученное выражение — это проекция ускорения на вертикальную ось, направленную вверх. Если значение $a_1$ положительно, то тело $m_1$ ускоряется вверх. Если отрицательно — то вниз. Равенство $a_1=0$ соответствует состоянию равновесия системы.

Ответ: Ускорение тела массой $m_1$ равно $a_1 = g \frac{4m_2m_3 - m_1(m_2+m_3)}{4m_2m_3 + m_1(m_2+m_3)}$.