Номер 1098, страница 175, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Разные задачи - номер 1098, страница 175.

Условие.

1098. H Определите точку пересечения водяных струй, бьющих из двух труб навстречу друг другу. Трубы расположены под углами 30° и 60° к горизонту. Концы труб находятся на одной высоте, при этом расстояние между ними равно 2 м. Скорость истечения воды одинакова и равна 6 м/с.

Решение.

Дано:

Угол наклона первой трубы: $\alpha_1 = 30^\circ$

Угол наклона второй трубы: $\alpha_2 = 60^\circ$

Расстояние между трубами: $L = 2 \text{ м}$

Начальная скорость воды: $v_0 = 6 \text{ м/с}$

Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Координаты точки пересечения водяных струй $(x, y)$.

Решение:

Введем систему координат. Пусть начало координат $(0, 0)$ совпадает с концом первой трубы (которая наклонена под углом $30^\circ$). Ось $Ox$ направим горизонтально в сторону второй трубы, а ось $Oy$ — вертикально вверх. В этой системе координат конец второй трубы (наклоненной под углом $60^\circ$) будет иметь координаты $(L, 0) = (2, 0)$.

Задача спрашивает о точке пересечения водяных струй, что означает нахождение общей точки их траекторий. Движение каждой струи воды является движением тела, брошенного под углом к горизонту, и его траектория описывается параболой.

Уравнение траектории для первой струи, выпущенной из точки $(0, 0)$ под углом $\alpha_1$ со скоростью $v_0$, имеет вид:

$y_1(x) = x \tan(\alpha_1) - \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2(\alpha_1)}$

Вторая струя выпускается из точки $(L, 0)$ навстречу первой под углом $\alpha_2$. Ее движение можно описать в той же системе координат. Горизонтальная составляющая ее скорости будет направлена против оси $Ox$. Уравнение ее траектории:

$y_2(x) = (L - x) \tan(\alpha_2) - \frac{g (L - x)^2}{2 v_0^2 \cos^2(\alpha_2)}$

В точке пересечения $(x, y)$ координаты для обеих траекторий должны быть одинаковы, то есть $y_1(x) = y_2(x) = y$. Приравняем правые части уравнений траекторий:

$x \tan(\alpha_1) - \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2(\alpha_1)} = (L - x) \tan(\alpha_2) - \frac{g (L - x)^2}{2 v_0^2 \cos^2(\alpha_2)}$

Подставим известные значения:$L = 2 \text{ м}$, $v_0 = 6 \text{ м/с}$, $\alpha_1 = 30^\circ$, $\alpha_2 = 60^\circ$, $g = 9.8 \text{ м/с}^2$.

$\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, $\cos^2(30^\circ) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$

$\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, $\cos^2(60^\circ) = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

$2 v_0^2 = 2 \cdot (6)^2 = 72 \text{ м}^2/\text{с}^2$

Подставим эти значения в уравнение:

$x \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{9.8 \cdot x^2}{72 \cdot (3/4)} = (2 - x) \cdot \sqrt{3} - \frac{9.8 \cdot (2 - x)^2}{72 \cdot (1/4)}$

$\frac{x}{\sqrt{3}} - \frac{9.8}{54} x^2 = \sqrt{3}(2 - x) - \frac{9.8}{18} (2 - x)^2$

Перегруппируем слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение вида $Ax^2 + Bx + C = 0$:

$x(\tan\alpha_1 + \tan\alpha_2) - L\tan\alpha_2 = \frac{g x^2}{2v_0^2 \cos^2\alpha_1} - \frac{g(L-x)^2}{2v_0^2 \cos^2\alpha_2}$

$(\frac{g}{54} - \frac{g}{18})x^2 - (\tan\alpha_1+\tan\alpha_2 + \frac{2Lg}{18})x + (L\tan\alpha_2 + \frac{L^2g}{18}) = 0$

$-\frac{2g}{54}x^2 - (\frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3} + \frac{4g}{18})x + (2\sqrt{3} + \frac{4g}{18}) = 0$

$-\frac{g}{27}x^2 - (\frac{4}{\sqrt{3}} + \frac{2g}{9})x + (2\sqrt{3} + \frac{2g}{9}) = 0$

Подставим числовые значения $g=9.8$ и $\sqrt{3} \approx 1.732$:

$-\frac{9.8}{27}x^2 - (\frac{4}{1.732} + \frac{2 \cdot 9.8}{9})x + (2 \cdot 1.732 + \frac{2 \cdot 9.8}{9}) = 0$

$-0.363x^2 - (2.309 + 2.178)x + (3.464 + 2.178) = 0$

$-0.363x^2 - 4.487x + 5.642 = 0$

Умножим на -1 для удобства:

$0.363x^2 + 4.487x - 5.642 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = B^2 - 4AC$:

$D = (4.487)^2 - 4(0.363)(-5.642) \approx 20.133 + 8.193 \approx 28.326$

$\sqrt{D} \approx \sqrt{28.326} \approx 5.322$

Корни уравнения:

$x = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{-4.487 \pm 5.322}{2 \cdot 0.363} = \frac{-4.487 \pm 5.322}{0.726}$

Один корень будет положительным, другой отрицательным. Физический смысл имеет только корень, находящийся в интервале $0 < x < 2$:

$x_1 = \frac{-4.487 + 5.322}{0.726} = \frac{0.835}{0.726} \approx 1.15 \text{ м}$

$x_2 = \frac{-4.487 - 5.322}{0.726} < 0$ (не подходит)

Итак, горизонтальная координата точки пересечения $x \approx 1.15 \text{ м}$.

Теперь найдем вертикальную координату $\text{y}$, подставив $\text{x}$ в уравнение для первой траектории:

$y = x \tan(30^\circ) - \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2(30^\circ)}$

$y \approx 1.15 \cdot \tan(30^\circ) - \frac{9.8 \cdot (1.15)^2}{54}$

$y \approx 1.15 \cdot 0.577 - \frac{9.8 \cdot 1.3225}{54}$

$y \approx 0.664 - \frac{12.96}{54} \approx 0.664 - 0.24 = 0.424 \text{ м}$

Таким образом, струи пересекаются в точке с координатами, примерно равными $(1.15 \text{ м}; 0.42 \text{ м})$.

Ответ: Точка пересечения водяных струй находится на горизонтальном расстоянии примерно $1.15$ м от трубы, наклоненной под углом $30^\circ$, и на высоте примерно $0.42$ м над уровнем концов труб.