Номер 1103, страница 176, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Разные задачи - номер 1103, страница 176.

Условие.

1103. H Расстояние между пластинами конденсатора изменяется по гармоническому закону: $d = d_0 + D\cos\omega t$, причём $d_0 \gg D$. Напряжение на конденсаторе поддерживается постоянным и равным $U_0$. Площадь пластин конденсатора $\text{S}$. Пренебрегая активным сопротивлением проводов, определите силу тока в цепи.

Решение.

Дано:

Закон изменения расстояния между пластинами: $d(t) = d_0 + D\cos(\omega t)$

Условие малости амплитуды колебаний: $d_0 \gg D$

Напряжение на конденсаторе: $U = U_0 = \text{const}$

Площадь пластин конденсатора: $\text{S}$

Электрическая постоянная: $\epsilon_0$

Найти:

Силу тока в цепи $I(t)$.

Решение:

Сила тока в цепи определяется как скорость изменения заряда на пластинах конденсатора:

$I(t) = \frac{dq(t)}{dt}$

Заряд на конденсаторе $q(t)$ в любой момент времени равен произведению его ёмкости $C(t)$ на напряжение $U_0$:

$q(t) = C(t) \cdot U_0$

Ёмкость плоского конденсатора с площадью пластин $\text{S}$ и расстоянием между ними $d(t)$ определяется формулой:

$C(t) = \frac{\epsilon_0 S}{d(t)}$

Подставляя заданный закон изменения расстояния $d(t)$, получаем зависимость ёмкости от времени:

$C(t) = \frac{\epsilon_0 S}{d_0 + D\cos(\omega t)}$

Тогда заряд на конденсаторе как функция времени равен:

$q(t) = \frac{\epsilon_0 S U_0}{d_0 + D\cos(\omega t)}$

Для нахождения силы тока $I(t)$ необходимо продифференцировать выражение для заряда $q(t)$ по времени $\text{t}$:

$I(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{\epsilon_0 S U_0}{d_0 + D\cos(\omega t)} \right)$

Вынося постоянные величины за знак производной и применяя правило дифференцирования сложной функции (в частности, производной от $u^{-1}$), получаем:

$I(t) = \epsilon_0 S U_0 \cdot \left( -\frac{1}{(d_0 + D\cos(\omega t))^2} \right) \cdot \frac{d}{dt}(d_0 + D\cos(\omega t))$

$I(t) = -\frac{\epsilon_0 S U_0}{(d_0 + D\cos(\omega t))^2} \cdot (-D\omega\sin(\omega t))$

$I(t) = \frac{\epsilon_0 S U_0 D \omega \sin(\omega t)}{(d_0 + D\cos(\omega t))^2}$

Согласно условию задачи, $d_0 \gg D$. Это означает, что амплитуда колебаний расстояния $\text{D}$ намного меньше среднего расстояния $d_0$. Следовательно, в знаменателе можно пренебречь малым слагаемым $D\cos(\omega t)$ по сравнению с $d_0$:

$d_0 + D\cos(\omega t) \approx d_0$

С учетом этого упрощения выражение для силы тока принимает вид:

$I(t) \approx \frac{\epsilon_0 S U_0 D \omega \sin(\omega t)}{d_0^2}$

Таким образом, ток в цепи изменяется по синусоидальному закону с амплитудой $I_{max} = \frac{\epsilon_0 S U_0 D \omega}{d_0^2}$.

Ответ: $I(t) \approx \frac{\epsilon_0 S U_0 D \omega}{d_0^2} \sin(\omega t)$