Номер 1106, страница 176, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Разные задачи - номер 1106, страница 176.

Условие.

1106. H Проводник сопротивлением 20 Ом и массой 200 г лежит на рельсах, расстояние между которыми 40 см. Вся система находится в однородном магнитном поле, линии индукции которого параллельны рельсам (рис. 252). Проводник подключён к источнику с ЭДС 10 В и сопротивлением 5 Ом. В какой-то момент времени индукция магнитного поля начинает изменяться по закону $B = kt^2 (k = 2 \text{ Тл}/c^2)$. Через какое время ток, идущий по проводнику, станет равным нулю?

Рис. 252

Решение.

Дано:

$R = 20 \text{ Ом}$
$m = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$
$l = 40 \text{ см} = 0.4 \text{ м}$
$\mathcal{E} = 10 \text{ В}$
$r = 5 \text{ Ом}$
$k = 2 \text{ Тл/с}^2$
Закон изменения индукции магнитного поля: $B(t) = kt^2$
Ускорение свободного падения: $g = 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

$t - ?$

Решение:

Согласно условию, линии индукции магнитного поля $\vec{B}$ параллельны рельсам. Следовательно, вектор $\vec{B}$ лежит в плоскости контура, образованного источником, рельсами и проводником. Магнитный поток $\Phi$ через поверхность, ограниченную контуром, равен нулю, так как угол между вектором $\vec{B}$ и нормалью к плоскости контура составляет $90^\circ$.

Поскольку магнитный поток через контур всегда равен нулю ($\Phi = 0$), его производная по времени также равна нулю ($\frac{d\Phi}{dt} = 0$). Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции $\mathcal{E}_{ind} = -\frac{d\Phi}{dt}$ в контуре не возникает.

Таким образом, ток в цепи создается только источником с ЭДС $\mathcal{E}$ и является постоянным, пока цепь замкнута. По закону Ома для полной цепи его величина равна:
$I = \frac{\mathcal{E}}{R_{общ}} = \frac{\mathcal{E}}{R+r}$

Ток в проводнике направлен перпендикулярно рельсам, а значит, и перпендикулярно линиям магнитной индукции. Поэтому на проводник действует сила Ампера, направленная перпендикулярно плоскости рельсов (вверх или вниз). Величина этой силы:
$F_A = I l B$

Магнитное поле изменяется со временем по закону $B = kt^2$, поэтому сила Ампера также изменяется со временем:
$F_A(t) = I l (kt^2) = \frac{\mathcal{E} l k}{R+r} t^2$

Ток в проводнике прекратится (станет равным нулю), если цепь разомкнется. Это может произойти, если сила Ампера, направленная вверх, уравновесит силу тяжести $F_g = mg$, действующую на проводник, и проводник оторвется от рельсов.

Запишем условие отрыва проводника:
$F_A = F_g$
$\frac{\mathcal{E}}{R+r} \cdot l \cdot (kt^2) = mg$

Выразим время $\text{t}$, в которое это произойдет:
$t^2 = \frac{mg(R+r)}{\mathcal{E} l k}$
$t = \sqrt{\frac{mg(R+r)}{\mathcal{E} l k}}$

Выполним вычисления, подставив числовые значения в СИ:
$t = \sqrt{\frac{0.2 \cdot 10 \cdot (20+5)}{10 \cdot 0.4 \cdot 2}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 25}{8}} = \sqrt{\frac{50}{8}} = \sqrt{6.25} = 2.5 \text{ с}$

Ответ: ток, идущий по проводнику, станет равным нулю через 2.5 с.