Номер 1107, страница 177, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Разные задачи - номер 1107, страница 177.

Условие.

1107. H Концы тонкой проволоки, согнутой в виде полукольца радиусом $\text{R}$, соединены жёстким стержнем. Эта конструкция подвешена в точке $\text{O}$, как показано на рисунке 253. Определите период её колебаний.

Рис. 253

Решение.

Дано:

Радиус полукольца: $\text{R}$

Конструкция подвешена в точке °(центр стержня)

Найти:

Период колебаний: $\text{T}$

Решение:

Данная конструкция представляет собой физический маятник. Период малых колебаний физического маятника определяется формулой:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}$

где $\text{I}$ – момент инерции маятника относительно оси вращения (проходящей через точку подвеса O), $\text{m}$ – полная масса маятника, $\text{d}$ – расстояние от точки подвеса до центра масс маятника, $\text{g}$ – ускорение свободного падения.

Для нахождения этих величин введем линейную плотность проволоки и стержня, считая их одинаковыми и равными $\lambda$.

1. Найдем массу системы.

Масса полукольца $m_1$: длина полукольца $L_1 = \pi R$, следовательно, $m_1 = \lambda L_1 = \lambda \pi R$.

Масса стержня $m_2$: длина стержня $L_2 = 2R$, следовательно, $m_2 = \lambda L_2 = 2\lambda R$.

Полная масса системы $m = m_1 + m_2 = \lambda \pi R + 2\lambda R = \lambda R(\pi + 2)$.

2. Найдем положение центра масс системы.

Введем систему координат с началом в точке подвеса O, ось OY направим вертикально вниз, а ось OX – вдоль стержня. Из соображений симметрии ясно, что центр масс системы будет лежать на оси OY ($x_c = 0$).

Координата центра масс стержня $y_2 = 0$, так как его центр совпадает с точкой O.

Координата центра масс полукольца (стандартный результат) находится на расстоянии $\frac{2R}{\pi}$ от центра окружности. В нашей системе координат $y_1 = \frac{2R}{\pi}$.

Координата центра масс всей системы $y_c$ находится по формуле:

$y_c = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{m_1 + m_2} = \frac{(\lambda \pi R) \cdot \frac{2R}{\pi} + (2\lambda R) \cdot 0}{\lambda R(\pi + 2)} = \frac{2\lambda R^2}{\lambda R(\pi + 2)} = \frac{2R}{\pi + 2}$

Расстояние $\text{d}$ от точки подвеса °до центра масс системы равно $y_c$:

$d = \frac{2R}{\pi + 2}$

3. Найдем момент инерции системы относительно точки O.

Момент инерции системы $\text{I}$ равен сумме моментов инерции полукольца $I_1$ и стержня $I_2$ относительно точки O.

Момент инерции полукольца $I_1$: все точки полукольца находятся на одинаковом расстоянии $\text{R}$ от точки O. Поэтому $I_1 = m_1 R^2 = (\lambda \pi R)R^2 = \lambda \pi R^3$.

Момент инерции стержня $I_2$ относительно его центра (точки O): $I_2 = \frac{1}{12}m_2 L_2^2 = \frac{1}{12}(2\lambda R)(2R)^2 = \frac{1}{12}(2\lambda R)(4R^2) = \frac{8\lambda R^3}{12} = \frac{2}{3}\lambda R^3$.

Полный момент инерции системы:

$I = I_1 + I_2 = \lambda \pi R^3 + \frac{2}{3}\lambda R^3 = \lambda R^3 (\pi + \frac{2}{3})$

4. Вычислим период колебаний.

Подставим найденные значения $\text{I}$, $\text{m}$ и $\text{d}$ в формулу для периода:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}} = 2\pi \sqrt{\frac{\lambda R^3 (\pi + \frac{2}{3})}{\lambda R(\pi + 2) \cdot g \cdot \frac{2R}{\pi + 2}}}$

Сократим $\lambda$ и упростим выражение в знаменателе:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{R^3 (\pi + \frac{2}{3})}{R(\pi + 2) \cdot g \cdot \frac{2R}{\pi + 2}}} = 2\pi \sqrt{\frac{R^3 (\pi + \frac{2}{3})}{2gR^2}} = 2\pi \sqrt{\frac{R(\pi + \frac{2}{3})}{2g}}$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{R(\frac{3\pi+2}{3})}{2g}} = 2\pi \sqrt{\frac{R(3\pi+2)}{6g}}$

Ответ: $T = 2\pi \sqrt{\frac{R(3\pi+2)}{6g}}$