Номер 1102, страница 175, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

1102. H Тело массой 1 кг падает с высоты 39,2 м без начальной скорости и в последнюю секунду пролетает расстояние 17,1 м. Рассчитайте силу сопротивления воздуха, считая её постоянной.

Дано:

$m = 1$ кг

$H = 39,2$ м

$v_0 = 0$ м/с

$\Delta h = 17,1$ м (расстояние, пройденное за последнюю секунду)

$\Delta t = 1$ с

Найти:

$F_с$

Решение:

На падающее тело действуют две силы: сила тяжести $F_т = mg$, направленная вертикально вниз, и сила сопротивления воздуха $F_с$, направленная вертикально вверх. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил определяет ускорение тела $\text{a}$:

$ma = F_т - F_с$

Поскольку сила сопротивления воздуха считается постоянной, ускорение тела $\text{a}$ также является постоянной величиной. Движение тела является равноускоренным. Из второго закона Ньютона выразим силу сопротивления:

$F_с = mg - ma = m(g - a)$

Для нахождения силы сопротивления $F_с$ необходимо определить ускорение тела $\text{a}$. Воспользуемся кинематическими уравнениями равноускоренного движения. Пусть $\text{t}$ — полное время падения тела.

Высота, с которой падает тело, связана со временем падения и ускорением соотношением:

$H = \frac{at^2}{2}$ (1)

Путь, пройденный телом за время $(t-1)$ с, равен:

$h_{t-1} = \frac{a(t-1)^2}{2}$

Расстояние $\Delta h$, пройденное телом за последнюю секунду падения, равно разности полного пути $\text{H}$ и пути, пройденного за $(t-1)$ с:

$\Delta h = H - h_{t-1} = \frac{at^2}{2} - \frac{a(t-1)^2}{2} = \frac{a}{2}(t^2 - (t^2 - 2t + 1)) = \frac{a(2t-1)}{2}$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными $\text{a}$ и $\text{t}$. Подставим в них числовые значения из условия:

$\begin{cases} 39,2 = \frac{at^2}{2} \\ 17,1 = \frac{a(2t-1)}{2} \end{cases}$

Чтобы найти $\text{t}$, разделим первое уравнение на второе:

$\frac{39,2}{17,1} = \frac{\frac{at^2}{2}}{\frac{a(2t-1)}{2}} = \frac{t^2}{2t-1}$

Решим полученное уравнение относительно $\text{t}$:

$39,2(2t - 1) = 17,1t^2$

$78,4t - 39,2 = 17,1t^2$

$17,1t^2 - 78,4t + 39,2 = 0$

Решение этого квадратного уравнения дает $t \approx 4,014$ с. Однако, можно заметить, что заданные в условии числа ($39,2 = 4 \cdot 9,8$) подобраны так, чтобы решение было более простым. Предположим, что полное время падения составляет $t = 4$ с, а значение 17,1 м является результатом округления.

Проверим это предположение. Если $t = 4$ с, то из уравнения (1) найдем ускорение $\text{a}$:

$a = \frac{2H}{t^2} = \frac{2 \cdot 39,2}{4^2} = \frac{78,4}{16} = 4,9$ м/с².

Теперь, используя это ускорение, рассчитаем путь за последнюю секунду по формуле (2):

$\Delta h = \frac{4,9 \cdot (2 \cdot 4 - 1)}{2} = \frac{4,9 \cdot 7}{2} = 17,15$ м.

Полученное значение 17,15 м очень близко к значению 17,1 м из условия задачи (расхождение менее 0,3%). Это подтверждает, что ускорение тела действительно равно $a = 4,9$ м/с².

Теперь можем рассчитать силу сопротивления воздуха. Примем ускорение свободного падения $g = 9,8$ м/с². Этот выбор оправдан, так как вычисленное ускорение $a=4,9$ м/с² равно $g/2$.

$F_с = m(g - a) = 1 \text{ кг} \cdot (9,8 \text{ м/с²} - 4,9 \text{ м/с²}) = 4,9$ Н.

Ответ: сила сопротивления воздуха равна 4,9 Н.