Номер 1096, страница 174, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Разные задачи - номер 1096, страница 174.

Условие.

1096. H Во время тренировки на горизонтальном треке два велосипедиста движутся со скоростями 20 км/ч и 30 км/ч по двум окружностям с общим центром. Коэффициент трения между шинами велосипедов и треком равен $ \mu $. Через какие промежутки времени велосипедисты оказываются друг от друга на минимальном расстоянии?

Решение.

Дано:

Скорость первого велосипедиста, $v_1 = 20 \text{ км/ч}$

Скорость второго велосипедиста, $v_2 = 30 \text{ км/ч}$

Коэффициент трения, $\mu$

$v_1 = 20 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 20 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{50}{9} \text{ м/с}$
$v_2 = 30 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 30 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{25}{3} \text{ м/с}$

Найти:

Промежутки времени $\Delta t$, через которые велосипедисты оказываются на минимальном расстоянии друг от друга.

Решение:

Движение велосипедиста по окружности на горизонтальном треке обеспечивается силой трения покоя, которая создает необходимое центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона, центростремительная сила $F_ц$, действующая на велосипедиста, равна:

$F_ц = m a_ц = m\frac{v^2}{r}$

где $\text{m}$ - масса велосипедиста, $\text{v}$ - его скорость, а $\text{r}$ - радиус окружности.

Роль центростремительной силы выполняет сила трения покоя $F_{тр}$. Эта сила не может превышать максимального значения $F_{тр,макс} = \mu N = \mu mg$, где $\text{N}$ - сила нормальной реакции, а $\text{g}$ - ускорение свободного падения. Таким образом, для устойчивого движения по окружности должно выполняться условие:

$m\frac{v^2}{r} \le \mu mg$

Отсюда находим минимально возможный радиус траектории для данной скорости: $r \ge \frac{v^2}{\mu g}$.

В задаче не указаны радиусы, поэтому будем считать, что велосипедисты движутся по окружностям минимально возможных радиусов, то есть на пределе сцепления с дорогой. В этом случае:

$r = \frac{v^2}{\mu g}$

Тогда радиусы окружностей для первого и второго велосипедистов равны:

$r_1 = \frac{v_1^2}{\mu g}$ и $r_2 = \frac{v_2^2}{\mu g}$

Угловая скорость $\omega$ связана с линейной скоростью $\text{v}$ и радиусом $\text{r}$ соотношением $\omega = \frac{v}{r}$. Найдем угловые скорости велосипедистов:

$\omega_1 = \frac{v_1}{r_1} = \frac{v_1}{v_1^2/(\mu g)} = \frac{\mu g}{v_1}$

$\omega_2 = \frac{v_2}{r_2} = \frac{v_2}{v_2^2/(\mu g)} = \frac{\mu g}{v_2}$

Минимальное расстояние между велосипедистами достигается в моменты, когда они находятся на одной линии, проходящей через центр окружностей, и по одну сторону от него. Это происходит периодически. Промежуток времени $\Delta t$ между такими моментами определяется их относительной угловой скоростью $\omega_{отн}$ по формуле $\Delta t = \frac{2\pi}{\omega_{отн}}$. Величина $\omega_{отн}$ зависит от направления их движения.

Рассмотрим два возможных случая.

Если велосипедисты движутся в одном направлении, их относительная угловая скорость равна модулю разности их угловых скоростей. Так как $v_2 > v_1$, то $\frac{1}{v_1} > \frac{1}{v_2}$, и, следовательно, $\omega_1 > \omega_2$.

$\omega_{отн,1} = \omega_1 - \omega_2 = \frac{\mu g}{v_1} - \frac{\mu g}{v_2} = \mu g \frac{v_2 - v_1}{v_1 v_2}$

Тогда искомый промежуток времени $\Delta t_1$ равен:

$\Delta t_1 = \frac{2\pi}{\omega_{отн,1}} = \frac{2\pi v_1 v_2}{\mu g (v_2 - v_1)}$

Подставляя значения скоростей в СИ: $v_1 = \frac{50}{9}$ м/с, $v_2 = \frac{25}{3}$ м/с.

$\Delta t_1 = \frac{2\pi \cdot (\frac{50}{9}) \cdot (\frac{25}{3})}{\mu g (\frac{25}{3} - \frac{50}{9})} = \frac{2\pi \cdot \frac{1250}{27}}{\mu g \cdot \frac{75-50}{9}} = \frac{2\pi \cdot \frac{1250}{27}}{\mu g \cdot \frac{25}{9}} = \frac{2\pi \cdot 1250 \cdot 9}{\mu g \cdot 25 \cdot 27} = \frac{100\pi}{3\mu g}$

Если велосипедисты движутся в противоположных направлениях, их относительная угловая скорость равна сумме их угловых скоростей:

$\omega_{отн,2} = \omega_1 + \omega_2 = \frac{\mu g}{v_1} + \frac{\mu g}{v_2} = \mu g \frac{v_1 + v_2}{v_1 v_2}$

Тогда промежуток времени $\Delta t_2$ равен:

$\Delta t_2 = \frac{2\pi}{\omega_{отн,2}} = \frac{2\pi v_1 v_2}{\mu g (v_1 + v_2)}$

Подставляя значения скоростей в СИ:

$\Delta t_2 = \frac{2\pi \cdot (\frac{50}{9}) \cdot (\frac{25}{3})}{\mu g (\frac{50}{9} + \frac{25}{3})} = \frac{2\pi \cdot \frac{1250}{27}}{\mu g \cdot \frac{50+75}{9}} = \frac{2\pi \cdot \frac{1250}{27}}{\mu g \cdot \frac{125}{9}} = \frac{2\pi \cdot 1250 \cdot 9}{\mu g \cdot 125 \cdot 27} = \frac{20\pi}{3\mu g}$

Ответ: Так как в условии задачи не указано направление движения велосипедистов, возможны два варианта. Если они движутся в одном направлении, то промежутки времени равны $\Delta t = \frac{100\pi}{3\mu g}$. Если они движутся в противоположных направлениях, то промежутки времени равны $\Delta t = \frac{20\pi}{3\mu g}$.