Номер 1100, страница 175, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Разные задачи - номер 1100, страница 175.

Условие.

1100. H Три велосипедиста в начальный момент находятся в точках, являющихся вершинами правильного треугольника со стороной $\text{l}$. Они начинают двигаться по часовой стрелке с одинаковой по модулю скоростью $\text{v}$, причём каждый из них постоянно направляет свой велосипед на велосипед, движущийся перед ним. Через какой промежуток времени они встретятся?

Решение.

Дано:

Количество велосипедистов: $n=3$

Длина стороны правильного треугольника: $\text{l}$

Скорость каждого велосипедиста: $\text{v}$

Найти:

Время до встречи велосипедистов: $\text{t}$

Решение:

Рассмотрим относительное движение двух любых соседних велосипедистов, например, первого и второго. Пусть в начальный момент расстояние между ними равно $\text{l}$. Скорость сближения этих двух велосипедистов $v_{сбл}$ — это скорость, с которой уменьшается расстояние между ними. Она равна разности проекций их скоростей на прямую, соединяющую их.

Первый велосипедист движется прямо на второго, поэтому его скорость направлена вдоль соединяющей их прямой, и её проекция на эту прямую равна $\text{v}$.

Второй велосипедист движется на третьего. Его вектор скорости $v_2$ направлен по следующей стороне треугольника. Угол $\alpha$ между вектором скорости второго велосипедиста и прямой, соединяющей первого и второго, равен внешнему углу правильного треугольника.

Внутренний угол правильного треугольника равен $60^\circ$. Следовательно, внешний угол равен:

$\alpha = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Проекция скорости второго велосипедиста на прямую, соединяющую его с первым, равна:

$v_{2, proj} = v \cdot \cos(\alpha) = v \cdot \cos(120^\circ) = v \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{v}{2}$

Скорость сближения равна скорости первого велосипедиста минус проекция скорости второго на ту же прямую:

$v_{сбл} = v - v_{2, proj} = v - \left(-\frac{v}{2}\right) = v + \frac{v}{2} = \frac{3v}{2}$

Из-за симметрии задачи велосипедисты всегда будут образовывать правильный треугольник, который вращается и уменьшается в размерах. Это означает, что скорость сближения $v_{сбл}$ остается постоянной на протяжении всего движения.

Время $\text{t}$, через которое велосипедисты встретятся, можно найти, разделив начальное расстояние между ними на постоянную скорость сближения:

$t = \frac{l}{v_{сбл}} = \frac{l}{\frac{3v}{2}} = \frac{2l}{3v}$

Ответ: $t = \frac{2l}{3v}$