Номер 1094, страница 174, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Разные задачи - номер 1094, страница 174.

Условие.

1094. H В цилиндре под невесомым поршнем площадью Н 1200 $cm^2$ находится 2 $\text{L}$ воды при температуре 0 $^\circ C$. В воду опускают кусок стали массой 0,5 $\text{kg}$, нагретый до температуры 1000 $^\circ C$. На какую высоту поднимется поршень?

Решение.

Дано:

Площадь поршня, $S = 1200 \text{ см}^2 = 1200 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.12 \text{ м}^2$
Объем воды, $V_{воды} = 2 \text{ л} = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$
Начальная температура воды, $t_{воды} = 0 \text{ °C}$
Масса стали, $m_{стали} = 0.5 \text{ кг}$
Начальная температура стали, $t_{стали} = 1000 \text{ °C}$

Справочные данные:
Удельная теплоемкость воды, $c_{воды} = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$
Удельная теплоемкость стали, $c_{стали} = 500 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$
Плотность воды (при $0 \text{ °C}$), $\rho_{воды, 0} \approx 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$
Плотность стали, $\rho_{стали} \approx 7800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Найти:

Высоту подъема поршня, $\text{h}$.

Решение:

Подъем поршня будет вызван увеличением общего объема содержимого цилиндра. Это увеличение складывается из двух факторов:
1. Объем погруженного в воду куска стали.
2. Тепловое расширение воды при нагревании.

Для начала определим конечную температуру системы (воды и стали) после установления теплового равновесия. Составим уравнение теплового баланса, где $\theta$ — конечная температура.

Количество теплоты, отданное сталью при остывании:
$Q_{отданное} = c_{стали} \cdot m_{стали} \cdot (t_{стали} - \theta)$

Количество теплоты, полученное водой при нагревании:
$Q_{полученное} = c_{воды} \cdot m_{воды} \cdot (\theta - t_{воды})$

Найдем массу воды:
$m_{воды} = \rho_{воды, 0} \cdot V_{воды} = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 2 \text{ кг}$

Приравняем отданное и полученное количество теплоты:
$Q_{отданное} = Q_{полученное}$
$c_{стали} \cdot m_{стали} \cdot (t_{стали} - \theta) = c_{воды} \cdot m_{воды} \cdot (\theta - t_{воды})$
$500 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 0.5 \text{ кг} \cdot (1000 \text{ °C} - \theta) = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 2 \text{ кг} \cdot (\theta - 0 \text{ °C})$
$250 \cdot (1000 - \theta) = 8400 \cdot \theta$
$250000 - 250\theta = 8400\theta$
$250000 = 8650\theta$
$\theta = \frac{250000}{8650} \approx 28.9 \text{ °C}$

Так как конечная температура меньше $100 \text{ °C}$, вода не закипит и останется в жидком состоянии.

Теперь рассчитаем изменение объема.

1. Объем куска стали, который добавили в воду:
$V_{стали} = \frac{m_{стали}}{\rho_{стали}} = \frac{0.5 \text{ кг}}{7800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} \approx 6.41 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3$

2. Изменение объема воды из-за теплового расширения. Плотность воды уменьшается при нагревании. Плотность воды при температуре $\theta \approx 28.9 \text{ °C}$ составляет примерно $\rho_{воды, \theta} \approx 996 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$.
Конечный объем воды: $V_{воды, кон} = \frac{m_{воды}}{\rho_{воды, \theta}} = \frac{2 \text{ кг}}{996 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} \approx 2.008 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$
Изменение объема воды: $\Delta V_{воды} = V_{воды, кон} - V_{воды} = 2.008 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 - 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 0.008 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 8 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$

Общее изменение объема под поршнем равно сумме объема стали и изменения объема воды:
$\Delta V_{общ} = V_{стали} + \Delta V_{воды} = 6.41 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3 + 8 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 7.21 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3$

Высота подъема поршня связана с изменением объема и площадью поршня соотношением $\Delta V_{общ} = S \cdot h$:
$h = \frac{\Delta V_{общ}}{S} = \frac{7.21 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3}{0.12 \text{ м}^2} \approx 6.0 \cdot 10^{-4} \text{ м}$

Переведем результат в миллиметры: $6.0 \cdot 10^{-4} \text{ м} = 0.6 \text{ мм}$.

Ответ: поршень поднимется на высоту примерно 0.6 мм.