Номер 1088, страница 173, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Разные задачи - номер 1088, страница 173.

Условие.

1088 Н.В вершинах равностороннего треугольника со стороной $\text{a}$ находятся неподвижные заряды $\text{q}$. В центре треугольника располагается шарик с зарядом $q_0$ и массой $\text{m}$ (рис. 246). Шарику сообщают скорость $v_0$ и он начинает двигаться перпендикулярно одной из сторон. Определите скорость шарика в точке $\text{D}$, симметричной центру треугольника относительно стороны, которую пересекает шарик при движении.

Рис. 246

Решение.

Дано:

Сторона равностороннего треугольника: $\text{a}$

Заряды в вершинах треугольника: $\text{q}$

Заряд шарика: $q_0$

Масса шарика: $\text{m}$

Начальная скорость шарика в центре треугольника: $v_0$

Конечное положение шарика: точка $\text{D}$, симметричная центру относительно пересекаемой стороны.

Найти:

Скорость шарика в точке $\text{D}$: $\text{v}$

Решение:

Поскольку на движущийся шарик с зарядом $q_0$ действуют только консервативные кулоновские силы со стороны неподвижных зарядов $\text{q}$, для системы выполняется закон сохранения полной механической энергии. Обозначим начальное положение шарика (центр треугольника) как точку O, а конечное — как точку D.

Закон сохранения энергии имеет вид:

$E_°= E_D$

$K_°+ U_°= K_D + U_D$

где $\text{K}$ — кинетическая энергия, а $\text{U}$ — потенциальная энергия.

$\frac{1}{2}mv_0^2 + U_°= \frac{1}{2}mv^2 + U_D$

1. Найдем потенциальную энергию $U_O$ в центре треугольника. Центр °равностороннего треугольника равноудален от всех трех вершин. Расстояние от центра до каждой вершины (радиус описанной окружности) равно:

$r_°= \frac{a}{\sqrt{3}}$

Потенциальная энергия шарика в точке °— это сумма потенциальных энергий его взаимодействия с тремя зарядами в вершинах:

$U_°= 3 \cdot \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q q_0}{r_O} = 3 \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q q_0}{a/\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{4\pi\epsilon_0} \frac{q q_0}{a}$

2. Найдем потенциальную энергию $U_D$ в точке D. Точка D симметрична центру °относительно стороны, которую пересекает шарик. Пусть это будет нижняя сторона треугольника. Расстояния от точки D до двух вершин на этой стороне будут такими же, как и расстояние от центра °до любой вершины (из симметрии), то есть:

$r_{D1} = r_{D2} = r_°= \frac{a}{\sqrt{3}}$

Расстояние от точки D до третьей, верхней, вершины найдем как сумму высоты треугольника $h = a\sqrt{3}/2$ и расстояния от центра до стороны (радиуса вписанной окружности) $r_{in} = \frac{1}{3}h = \frac{a}{2\sqrt{3}}$. Точка D находится на том же расстоянии $r_{in}$ от стороны, что и центр, но с внешней стороны. Движение происходит вдоль медианы (высоты).

$r_{D3} = h + r_{in} = \frac{a\sqrt{3}}{2} + \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{3a\sqrt{3} + a\sqrt{3}}{6} = \frac{4a\sqrt{3}}{6} = \frac{2a}{\sqrt{3}}$

Теперь вычислим потенциальную энергию в точке D:

$U_D = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{q q_0}{r_{D1}} + \frac{q q_0}{r_{D2}} + \frac{q q_0}{r_{D3}} \right) = \frac{q q_0}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{a/\sqrt{3}} + \frac{1}{a/\sqrt{3}} + \frac{1}{2a/\sqrt{3}} \right)$

$U_D = \frac{q q_0 \sqrt{3}}{4\pi\epsilon_0 a} \left( 1 + 1 + \frac{1}{2} \right) = \frac{5\sqrt{3}}{2} \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q q_0}{a}$

3. Подставим выражения для $U_O$ и $U_D$ в закон сохранения энергии и найдем $\text{v}$:

$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv_0^2 + U_°- U_D$

$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv_0^2 + \frac{3\sqrt{3}}{4\pi\epsilon_0} \frac{q q_0}{a} - \frac{5\sqrt{3}}{2} \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q q_0}{a}$

$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv_0^2 + \frac{\sqrt{3} q q_0}{4\pi\epsilon_0 a} \left( 3 - \frac{5}{2} \right)$

$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv_0^2 + \frac{\sqrt{3} q q_0}{4\pi\epsilon_0 a} \left( \frac{1}{2} \right)$

Умножим обе части уравнения на 2:

$mv^2 = mv_0^2 + \frac{\sqrt{3} q q_0}{4\pi\epsilon_0 a}$

Разделим на $\text{m}$ и извлечем корень:

$v^2 = v_0^2 + \frac{\sqrt{3} q q_0}{4\pi\epsilon_0 m a}$

$v = \sqrt{v_0^2 + \frac{\sqrt{3} q q_0}{4\pi\epsilon_0 m a}}$

Ответ: $v = \sqrt{v_0^2 + \frac{\sqrt{3} q q_0}{4\pi\epsilon_0 m a}}$