Номер 1092, страница 174, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Разные задачи - номер 1092, страница 174.

Условие.

1092. H В кузове автомобиля близко к задней стенке лежит груз массой 500 кг. Коэффициент трения груза о пол кузова равен $0,05$. Определите зависимость силы, действующей на стенку, от ускорения автомобиля. Постройте график этой зависимости.

Решение.

Дано:

Масса груза: $m = 500$ кг

Коэффициент трения: $\mu = 0,05$

Примем ускорение свободного падения: $g \approx 9,8 \, \text{м/с}^2$

Найти:

Зависимость силы, действующей на стенку, от ускорения автомобиля $F_{ст}(a)$ и построить график этой зависимости.

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на груз в инерциальной системе отсчета, связанной с землей. Пусть автомобиль движется с ускорением $\text{a}$ в положительном направлении оси Ox. Чтобы груз двигался вместе с автомобилем, на него должна действовать сила, сообщающая ему такое же ускорение $\text{a}$.

Вдоль горизонтальной оси на груз могут действовать две силы: сила трения покоя $F_{тр}$ и сила реакции задней стенки $F_{ст}$. Обе эти силы, если они действуют, направлены в сторону ускорения автомобиля.

Согласно второму закону Ньютона, уравнение движения груза в проекции на горизонтальную ось имеет вид:

$F_{ст} + F_{тр} = ma$

Сила трения покоя не может превышать своего максимального значения $F_{тр.max}$. Эта сила определяется как $F_{тр.max} = \mu N$, где $\text{N}$ – сила нормальной реакции. В вертикальном направлении сила тяжести $mg$ уравновешивается силой нормальной реакции $\text{N}$, поэтому $N=mg$.

Вычислим максимальную силу трения покоя:

$F_{тр.max} = \mu mg = 0,05 \cdot 500 \, \text{кг} \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2 = 245 \, \text{Н}$

Далее рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Ускорение невелико.

Если ускорение автомобиля таково, что для движения груза вместе с ним достаточно одной лишь силы трения, то груз не будет давить на стенку. В этом случае сила реакции стенки $F_{ст}$ равна нулю. Это возможно до тех пор, пока требуемая для ускорения груза сила $ma$ не превышает максимальную силу трения покоя $F_{тр.max}$.

$ma \le F_{тр.max}$

Найдем пороговое значение ускорения $a_{крит}$:

$a \le \frac{F_{тр.max}}{m} = \frac{245 \, \text{Н}}{500 \, \text{кг}} = 0,49 \, \text{м/с}^2$

Следовательно, при ускорениях в диапазоне $0 \le a \le 0,49 \, \text{м/с}^2$, сила, действующая на стенку, равна нулю: $F_{ст} = 0$. Сила трения при этом равна $F_{тр} = ma$.

Случай 2: Ускорение велико.

Если ускорение автомобиля $a > 0,49 \, \text{м/с}^2$, то максимальной силы трения покоя уже недостаточно для того, чтобы груз двигался вместе с автомобилем. В этом случае груз начинает давить на заднюю стенку, и возникает сила реакции стенки $F_{ст}$. Сила трения при этом достигает своего максимального значения $F_{тр} = F_{тр.max} = 245 \, \text{Н}$.

Подставим это значение в уравнение второго закона Ньютона:

$F_{ст} + F_{тр.max} = ma$

Отсюда выразим силу, действующую на стенку:

$F_{ст} = ma - F_{тр.max} = ma - 245$

Подставив значение массы $m=500$ кг, получим зависимость:

$F_{ст}(a) = 500a - 245$

Эта формула справедлива при $a > 0,49 \, \text{м/с}^2$.

Таким образом, мы получили кусочно-линейную зависимость силы $F_{ст}$ от ускорения $\text{a}$.

Построение графика.

График зависимости $F_{ст}(a)$ состоит из двух частей:

1. На участке $0 \le a \le 0,49 \, \text{м/с}^2$ график представляет собой отрезок горизонтальной прямой $F_{ст} = 0$, совпадающий с осью абсцисс.

2. На участке $a > 0,49 \, \text{м/с}^2$ график представляет собой луч прямой $F_{ст} = 500a - 245$, выходящий из точки с координатами $(0,49; 0)$ и идущий вверх.

График этой зависимости представлен ниже.

Ответ:

Зависимость силы, действующей на стенку, от ускорения автомобиля описывается кусочной функцией:

$F_{ст}(a) = \begin{cases} 0, & \text{при } 0 \le a \le 0,49 \, \text{м/с}^2 \\ 500a - 245, & \text{при } a > 0,49 \, \text{м/с}^2 \end{cases}$

где сила $F_{ст}$ выражена в ньютонах (Н), а ускорение $\text{a}$ – в м/с².