Номер 1105, страница 176, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Разные задачи - номер 1105, страница 176.

Условие.

1105. H Проводник длиной $\text{l}$ и массой $\text{m}$ подвешен в вертикальной плоскости на двух пружинах жёсткостью $\text{k}$, прикреплённых к диэлектрику в однородном магнитном поле с индукцией $\vec{B}$ (рис. 251). Пружины соединены через конденсатор ёмкостью $\text{C}$. Определите период колебаний системы. Индуктивностью пружин, сопротивлением и ёмкостью проводников следует пренебречь.

Рис. 251

Решение.

Дано:

длина проводника: $\text{l}$

масса проводника: $\text{m}$

жёсткость каждой пружины: $\text{k}$

индукция магнитного поля: $\text{B}$

ёмкость конденсатора: $\text{C}$

Найти:

период колебаний: $\text{T}$

Решение:

В положении равновесия сила тяжести $mg$, действующая на проводник, уравновешена суммарной силой упругости двух пружин. Если $\Delta x_0$ — начальное растяжение каждой пружины, то условие равновесия имеет вид:

$mg = 2k\Delta x_0$

Пусть проводник смещен из положения равновесия вертикально вниз на малое расстояние $\text{x}$. Запишем второй закон Ньютона для проводника в проекции на вертикальную ось, направленную вниз. Положение равновесия примем за начало отсчета ($x=0$).

$ma = \sum F_x$

На проводник действуют:

1. Сила тяжести $F_g = mg$, направленная вниз.

2. Сила упругости пружин $F_{упр} = 2k(\Delta x_0 + x)$, направленная вверх.

3. Сила Ампера $F_A$.

При движении проводника со скоростью $v = \dot{x}$ в магнитном поле в нём возникает ЭДС индукции $\mathcal{E} = Blv$. По правилу правой руки, если скорость $\vec{v}$ направлена вниз, а вектор индукции $\vec{B}$ — из плоскости чертежа, то на положительные заряды в проводнике действует сила Лоренца, направленная вправо. Таким образом, правый конец проводника будет иметь более высокий потенциал, чем левый.

Эта ЭДС заряжает конденсатор, и в цепи возникает ток $\text{I}$. Заряд на конденсаторе равен $q = C\mathcal{E} = CBlv = CBl\dot{x}$. Сила тока в цепи:

$I = \frac{dq}{dt} = \frac{d}{dt}(CBl\dot{x}) = CBl\ddot{x} = CBla$

где $a = \ddot{x}$ — ускорение проводника. Этот ток течет по проводнику. Направление тока в проводнике (который является источником ЭДС) — от отрицательного полюса к положительному, то есть слева направо.

Теперь найдем силу Ампера $F_A = IlB$, действующую на проводник. По правилу левой руки (ток $\text{I}$ вправо, вектор $\vec{B}$ из плоскости чертежа), сила Ампера $\vec{F}_A$ направлена вверх, то есть против смещения и ускорения.

Величина силы Ампера:

$F_A = (CBla)lB = CB^2l^2a$

Запишем второй закон Ньютона с учетом всех сил (положительное направление — вниз):

$ma = F_g - F_{упр} - F_A$

$ma = mg - 2k(\Delta x_0 + x) - CB^2l^2a$

Подставляя $mg = 2k\Delta x_0$, получаем:

$ma = 2k\Delta x_0 - 2k\Delta x_0 - 2kx - CB^2l^2a$

$ma = -2kx - CB^2l^2a$

Перенесем члены с ускорением в левую часть:

$ma + CB^2l^2a = -2kx$

$(m + CB^2l^2)a + 2kx = 0$

Это дифференциальное уравнение гармонических колебаний вида $m_{эфф}\ddot{x} + k_{эфф}x = 0$, где:

• Эффективная масса системы: $m_{эфф} = m + CB^2l^2$

• Эффективная жесткость системы: $k_{эфф} = 2k$

Циклическая частота колебаний $\omega$ определяется как:

$\omega = \sqrt{\frac{k_{эфф}}{m_{эфф}}} = \sqrt{\frac{2k}{m + CB^2l^2}}$

Период колебаний $\text{T}$ связан с циклической частотой соотношением $T = \frac{2\pi}{\omega}$.

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m_{эфф}}{k_{эфф}}} = 2\pi\sqrt{\frac{m + CB^2l^2}{2k}}$

Ответ: $T = 2\pi\sqrt{\frac{m + CB^2l^2}{2k}}$