Номер 1108, страница 177, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Разные задачи - номер 1108, страница 177.

Условие.

1108. Н Проводник длиной $\text{l}$ и массой $\text{m}$ подвешен в вертикальной плоскости на двух пружинах жёсткостью $\text{k}$, прикреплённых к диэлектрику, в однородном магнитном поле с индукцией $\text{B}$ (рис. 254). Пружины соединены катушкой индуктивностью $\text{L}$. Определите частоту $\omega$ колебаний проводника. Сопротивлением проволок и их индуктивностью можно пренебречь.

Рис. 254

Решение.

Дано:

$\text{l}$ – длина проводника

$\text{m}$ – масса проводника

$\text{k}$ – жёсткость каждой пружины

$\text{B}$ – индукция магнитного поля

$\text{L}$ – индуктивность катушки

Найти:

$ω$ – частота колебаний проводника

Решение:

Рассмотрим положение равновесия проводника. Сила тяжести $mg$ уравновешивается силой упругости двух пружин. Пусть $\text{y}$ – вертикальное смещение проводника из положения равновесия (положительное направление – вниз). Скорость проводника $v = \dot{y}$, ускорение $a = \ddot{y}$.

При смещении проводника на расстояние $\text{y}$ вниз, на него действуют следующие силы в вертикальном направлении:

1. Возвращающая сила упругости двух пружин. Каждая пружина растягивается на $\text{y}$, поэтому суммарная сила упругости направлена вверх и равна $F_{упр} = -2ky$.

2. Сила Ампера $F_A$. При движении проводника со скоростью $\text{v}$ в магнитном поле в нём возникает ЭДС индукции: $\mathcal{E}_{инд} = Blv = Bl\dot{y}$. По правилу правой руки, эта ЭДС направлена вдоль проводника и создаёт в замкнутом контуре (проводник-пружины-катушка) ток $\text{I}$. Этот ток, протекая по проводнику в магнитном поле, создаёт силу Ампера.

Направление тока $\text{I}$ и силы Ампера $F_A$ определяются по правилу Ленца: они будут противодействовать причине, их вызывающей. Если проводник движется вниз ($v > 0$), то ЭДС направлена так, что ток $\text{I}$ течёт вправо. По правилу левой руки, сила Ампера $F_A = I l B$ будет направлена вверх, то есть будет тормозить движение. Если проводник движется вверх ($v < 0$), ток меняет направление, и сила Ампера будет направлена вниз, снова тормозя движение. Таким образом, сила Ампера всегда направлена против скорости, и её проекция на ось $\text{y}$ равна $F_{A,y} = -IlB$.

Запишем второй закон Ньютона для проводника в проекции на вертикальную ось $\text{y}$:

$m\ddot{y} = F_{упр} + F_{A,y}$

$m\ddot{y} = -2ky - IlB$ (1)

Теперь рассмотрим электрическую цепь. Согласно закону Ома для полной цепи, сумма ЭДС равна падению напряжения. В нашем случае (сопротивление пренебрежимо мало), ЭДС индукции уравновешивается ЭДС самоиндукции в катушке $U_L = L \frac{dI}{dt} = L\dot{I}$:

$\mathcal{E}_{инд} = U_L$

$Bl\dot{y} = L\dot{I}$ (2)

Мы получили систему из двух дифференциальных уравнений. Проинтегрируем уравнение (2) по времени:

$L \int dI = Bl \int \dot{y} dt$

$LI = Bly + C$

Поскольку в системе нет источника постоянного тока, а колебания происходят симметрично относительно положения равновесия, постоянная составляющая тока отсутствует, то есть $C = 0$. Отсюда выражаем ток:

$I = \frac{Bl}{L}y$

Подставим это выражение для тока $\text{I}$ в уравнение движения (1):

$m\ddot{y} = -2ky - \left(\frac{Bl}{L}y\right)lB$

$m\ddot{y} = -2ky - \frac{B^2l^2}{L}y$

$m\ddot{y} + \left(2k + \frac{B^2l^2}{L}\right)y = 0$

Это уравнение гармонических колебаний вида $m\ddot{y} + k_{эфф}y = 0$, где эффективный коэффициент жёсткости $k_{эфф} = 2k + \frac{B^2l^2}{L}$.

Циклическая частота таких колебаний определяется формулой $\omega = \sqrt{\frac{k_{эфф}}{m}}$.

Подставляя значение $k_{эфф}$, получаем:

$\omega = \sqrt{\frac{2k + \frac{B^2l^2}{L}}{m}} = \sqrt{\frac{2k}{m} + \frac{B^2l^2}{mL}}$

Ответ: $\omega = \sqrt{\frac{2k}{m} + \frac{B^2l^2}{mL}}$