Номер 1073, страница 171, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Разные задачи - номер 1073, страница 171.

Условие.

1073. H При движении по какой из по- Н поверхностей (см. задачу 1072 и рис. 239) скорость тела в конечной точке будет больше? Рассмотрите два случая:

1) без учёта трения;

2) с учётом трения.

Рис. 239

Решение.

Дано:

Тело движется из точки 1 в точку 2 по одной из двух траекторий: A или B.
Начальная точка 1 находится на высоте $h_1$.
Конечная точка 2 находится на высоте $h_2$.
$h_1 > h_2$.
Начальная скорость в точке 1: $v_1$.
Конечная скорость в точке 2: $v_2$.
Случай 1: Трение отсутствует.
Случай 2: Трение присутствует (коэффициент трения $\mu > 0$).

Найти:

По какой траектории скорость тела в конечной точке 2 будет больше в каждом из двух случаев.

Решение:

Рассмотрим движение тела из точки 1 в точку 2. Воспользуемся законом сохранения и изменения механической энергии.

1) без учёта трения
Если трение отсутствует, то на тело действуют только консервативная сила тяжести и сила нормальной реакции, которая перпендикулярна перемещению и не совершает работы. В этом случае полная механическая энергия тела сохраняется.
Запишем закон сохранения механической энергии для начальной (1) и конечной (2) точек:
$E_1 = E_2$
$E_{к1} + E_{п1} = E_{к2} + E_{п2}$
$\frac{mv_1^2}{2} + mgh_1 = \frac{mv_2^2}{2} + mgh_2$
Из этого уравнения можно выразить квадрат конечной скорости:
$\frac{mv_2^2}{2} = \frac{mv_1^2}{2} + mg(h_1 - h_2)$
$v_2^2 = v_1^2 + 2g(h_1 - h_2)$
Как видно из формулы, конечная скорость $v_2$ зависит только от начальной скорости $v_1$ и разности высот $(h_1 - h_2)$. Она не зависит от формы траектории. Следовательно, скорости в конечной точке будут одинаковыми для обеих траекторий A и B.
Ответ: При движении без учёта трения скорость тела в конечной точке будет одинаковой для обеих поверхностей.

2) с учётом трения
При наличии трения полная механическая энергия не сохраняется. Часть механической энергии переходит во внутреннюю энергию (теплоту) из-за работы силы трения. Закон изменения механической энергии выглядит так:
$\Delta E = W_{тр}$
$(E_{к2} + E_{п2}) - (E_{к1} + E_{п1}) = W_{тр}$
$\frac{mv_2^2}{2} + mgh_2 - (\frac{mv_1^2}{2} + mgh_1) = W_{тр}$
Работа силы трения $W_{тр}$ отрицательна, так как сила трения всегда направлена против движения. Её модуль равен $|W_{тр}| = \int F_{тр} ds$, где $F_{тр} = \mu N$ - сила трения, $\text{N}$ - сила нормальной реакции, а интегрирование ведётся вдоль всей траектории $\text{s}$.
Выразим конечную скорость:
$\frac{mv_2^2}{2} = \frac{mv_1^2}{2} + mg(h_1 - h_2) + W_{тр} = \frac{mv_1^2}{2} + mg(h_1 - h_2) - |W_{тр}|$
Конечная скорость $v_2$ будет больше там, где работа силы трения по модулю $|W_{тр}|$ будет меньше.
Сравним силу нормальной реакции $\text{N}$ для траекторий A (выпуклая) и B (вогнутая). Сила нормальной реакции зависит от кривизны поверхности. В любой точке траектории сила нормальной реакции определяется вторым законом Ньютона в проекции на нормаль к поверхности. Для выпуклой поверхности (траектория A):
$mg\cos\alpha - N_A = \frac{mv^2}{R_A} \implies N_A = mg\cos\alpha - \frac{mv^2}{R_A}$
Для вогнутой поверхности (траектория B):
$N_B - mg\cos\alpha = \frac{mv^2}{R_B} \implies N_B = mg\cos\alpha + \frac{mv^2}{R_B}$
(где $\alpha$ - угол наклона касательной к горизонту, $\text{R}$ - радиус кривизны).
Видно, что в соответствующих точках $N_B > N_A$. Следовательно, и сила трения на траектории B будет больше, чем на траектории A ($F_{тр, B} > F_{тр, A}$).
Кроме того, из рисунка видно, что длина траектории B больше длины траектории A ($L_B > L_A$).
Так как на траектории B и сила трения больше, и путь длиннее, то работа силы трения по модулю будет больше: $|W_{тр, B}| > |W_{тр, A}|$.
Это означает, что на траектории B тело потеряет больше механической энергии. Следовательно, его кинетическая энергия и скорость в конечной точке 2 будут меньше, чем при движении по траектории A.
Ответ: При движении с учётом трения скорость тела в конечной точке будет больше при движении по поверхности A.