Номер 1069, страница 170, часть 2 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Парфентьева

Часть 2. Разные задачи - номер 1069, страница 170.

Условие.

1069. H Из одной точки, находящейся на высоте $h = 10 \text{ м}$ над поверхностью земли, одновременно брошены два тела со скоростями $v_1 = 4 \text{ м/с}$ и $v_2 = 9 \text{ м/с}$, направленными горизонтально в противоположные стороны (рис. 237). На какой высоте их скорости станут взаимно перпендикулярны, и чему будет равно расстояние между телами в этот момент времени?

Рис. 237

Решение.

Дано:

$h = 10$ м
$v_1 = 4$ м/с
$v_2 = 9$ м/с
$g \approx 10$ м/с²

Найти:

$H'$ — высота, на которой скорости станут перпендикулярны;
$\text{L}$ — расстояние между телами в этот момент.

Решение:

Введем систему координат с началом в точке броска. Ось $OX$ направим горизонтально вправо, а ось $OY$ — вертикально вниз.

Движение каждого тела является результатом сложения двух независимых движений: равномерного по горизонтали (вдоль оси $OX$) и равноускоренного по вертикали (вдоль оси $OY$).

Запишем проекции скоростей тел на оси в произвольный момент времени $\text{t}$:

Для первого тела, движущегося вправо:
$v_{1x} = v_1$
$v_{1y} = g \cdot t$
Вектор скорости: $\vec{V_1} = (v_1; g \cdot t)$.

Для второго тела, движущегося влево:
$v_{2x} = -v_2$
$v_{2y} = g \cdot t$
Вектор скорости: $\vec{V_2} = (-v_2; g \cdot t)$.

На какой высоте их скорости станут взаимно перпендикулярны

Условием перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения: $\vec{V_1} \cdot \vec{V_2} = 0$.

$v_{1x} \cdot v_{2x} + v_{1y} \cdot v_{2y} = 0$

$v_1 \cdot (-v_2) + (g \cdot t) \cdot (g \cdot t) = 0$

$-v_1 v_2 + (gt)^2 = 0$

Из этого уравнения найдем время $\text{t}$, в которое скорости станут перпендикулярны:

$t = \frac{\sqrt{v_1 v_2}}{g} = \frac{\sqrt{4 \text{ м/с} \cdot 9 \text{ м/с}}}{10 \text{ м/с}^2} = \frac{\sqrt{36 \text{ (м/с)}^2}}{10 \text{ м/с}^2} = \frac{6 \text{ м/с}}{10 \text{ м/с}^2} = 0.6 \text{ с}$

За это время тела опустятся по вертикали на расстояние $\Delta h$:

$\Delta h = \frac{g t^2}{2} = \frac{10 \text{ м/с}^2 \cdot (0.6 \text{ с})^2}{2} = \frac{10 \cdot 0.36}{2} \text{ м} = 1.8 \text{ м}$

Следовательно, высота $H'$ над поверхностью земли, на которой их скорости станут взаимно перпендикулярны, будет:

$H' = h - \Delta h = 10 \text{ м} - 1.8 \text{ м} = 8.2 \text{ м}$

Ответ: 8.2 м.

Чему будет равно расстояние между телами в этот момент времени

Расстояние между телами $\text{L}$ в момент времени $\text{t}$ равно сумме модулей их горизонтальных смещений, так как по вертикали они смещаются одинаково.

Горизонтальное смещение первого тела: $|x_1| = v_1 t$
Горизонтальное смещение второго тела: $|x_2| = v_2 t$

$L = |x_1| + |x_2| = v_1 t + v_2 t = (v_1 + v_2) t$

Подставим известные значения и найденное время $t = 0.6$ с:

$L = (4 \text{ м/с} + 9 \text{ м/с}) \cdot 0.6 \text{ с} = 13 \text{ м/с} \cdot 0.6 \text{ с} = 7.8 \text{ м}$

Ответ: 7.8 м.